Faça o esboço do gráfico e escreva a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: O vértice e o foco ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico de uma parábola e encontrar sua equação. A gente sabe que o vértice está em e o foco está em . Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma linha fixa chamada diretriz. O vértice é o ponto mais próximo do foco na parábola.
Passo 3
Observando as coordenadas do vértice e do foco , percebemos que ambos têm a mesma coordenada . Isso significa que a parábola é vertical, abrindo para baixo ou para cima. Como o foco está abaixo do vértice, a parábola abre para baixo.
Passo 4
Vamos encontrar a distância entre o vértice e o foco, que é chamada de “p”. Calculando:
Como a parábola abre para baixo, é negativo:
Passo 5
A equação padrão de uma parábola vertical com vértice e valor de é:
Aqui, , e . Vamos substituir esses valores na equação.
Passo 6
Substituindo os valores, temos:
Simplificando:
Passo 7
Para deixar a equação mais simples, podemos isolar :
Passo 8
Agora, vamos esboçar o gráfico. Sabemos que o vértice está em e a parábola abre para baixo. O foco está a 2 unidades abaixo do vértice, então em . A diretriz será uma linha horizontal a 2 unidades acima do vértice, ou seja, .
Resposta
A equação da parábola é:
E o esboço do gráfico mostra uma parábola com vértice em , foco em , abrindo para baixo.