Faça o esboço do gráfico e escreva a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: O vértice V=(2,-2) e o foco F=(2,-4);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico de uma parábola e encontrar sua equação. A gente sabe que o vértice está em e o foco está em . Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma linha fixa chamada diretriz. O vértice é o ponto mais próximo do foco na parábola.

Passo 3

Observando as coordenadas do vértice e do foco , percebemos que ambos têm a mesma coordenada . Isso significa que a parábola é vertical, abrindo para baixo ou para cima. Como o foco está abaixo do vértice, a parábola abre para baixo.

Passo 4

Vamos encontrar a distância entre o vértice e o foco, que é chamada de “p”. Calculando:
p = distância entre V e F = |-4 - (-2)| = 2 â
Como a parábola abre para baixo, p = -2 é negativo:

Passo 5

A equação padrão de uma parábola vertical com vértice (y - k) = 14p(x - h)^2 e valor de é:
Aqui, , e . Vamos substituir esses valores na equação.

Passo 6

Substituindo os valores, temos:
y - (-2) = 14(-2)(x - 2)^2
Simplificando:
y + 2 = -18(x - 2)^2

Passo 7

Para deixar a equação mais simples, podemos isolar y = -18(x - 2)^2 - 2 :

Passo 8

Agora, vamos esboçar o gráfico. Sabemos que o vértice está em e a parábola abre para baixo. O foco está a 2 unidades abaixo do vértice, então em . A diretriz será uma linha horizontal a 2 unidades acima do vértice, ou seja, .

Resposta

A equação da parábola é:
y = -18(x - 2)^2 - 2
E o esboço do gráfico mostra uma parábola com vértice em , foco em , abrindo para baixo.

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