Determine a equação geral do plano que satisfaz as seguintes propriedades. Escreva as equações paramétricas do plano pi1: 2 x-2 y+1=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar a equação geral de um plano que satisfaz certas propriedades e, além disso, escrever as equações paramétricas do plano pi1: 2x - 2y +1=0. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos utilizar a forma geral da equação de um plano e a forma paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do plano pi1: 2x - 2y +1=0. Essa é a equação geral de um plano no espaço tridimensional, que pode ser escrita na forma Ax + By + Cz + D = 0, onde (A, B, C) é o vetor normal ao plano.
No nosso caso, comparando com 2x - 2y +1=0, vemos que A = 2, B = -2 e C = 0 (já que não há termo com z). Portanto, o vetor normal ao plano é n = (2, -2, 0).

Passo 3

Agora, vamos encontrar as equações paramétricas do plano pi1. Para isso, precisamos de um ponto qualquer que pertença ao plano e de dois vetores diretores que sejam paralelos ao plano.
Vamos encontrar um ponto no plano. Vamos fixar duas variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, se x = 0 e y = 0, substituindo na equação do plano:
2(0) - 2(0) +1 = 1 neq 0, então não está no plano. Vamos tentar x = 0 e z = 0:
2(0) - 2y +1 = 0 Rightarrow -2y +1 = 0 Rightarrow y = 12. Então, o ponto P(0, 12, 0) está no plano.

Passo 4

Agora, vamos encontrar dois vetores diretores. Como o vetor normal ao plano é n = (2, -2, 0), qualquer vetor que seja perpendicular a n estará no plano.
Podemos escolher dois vetores quaisquer que satisfaçam essa condição. Por exemplo:
  1. Primeiro vetor diretor, escolhendo x = 1, y = 1, z = 0:
    v1 = (1, 1, 0)
  2. Segundo vetor diretor, escolhendo x = 0, y = 0, z = 1:
    v2 = (0, 0, 1)
Vamos verificar se esses vetores são realmente diretores do plano, ou seja, se são perpendiculares ao vetor normal:
n cdot v1 = 2(1) + (-2)(1) + 0(0) = 2 -2 +0 = 0
n cdot v2 = 2(0) + (-2)(0) + 0(1) = 0 +0 +0 = 0
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares ao vetor normal e, portanto, estão no plano.

Passo 5

Com o ponto P(0, 12, 0) e os vetores diretores v1 = (1, 1, 0) e v2 = (0, 0, 1), podemos escrever as equações paramétricas do plano.
As equações paramétricas de um plano são dadas por:
x = x0 + a cdot s + b cdot t y = y0 + c cdot s + d cdot t z = z0 + e cdot s + f cdot t
Onde (x0, y0, z0) é o ponto no plano e (a, c, e) e (b, d, f) são os vetores diretores, com s e t sendo parâmetros.
Substituindo os valores que encontramos:
x = 0 + 1 cdot s + 0 cdot t = s y = 12 + 1 cdot s + 0 cdot t = 12 + s z = 0 + 0 cdot s + 1 cdot t = t

Resposta

As equações paramétricas do plano pi1: 2x - 2y +1=0 são:
x = s y = dfrac12 + s z = t
Onde s e t são parâmetros reais.

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