Determine a equação geral do plano que satisfaz as seguintes propriedades. Escreva as equações paramétricas do plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar a equação geral de um plano que satisfaz certas propriedades e, além disso, escrever as equações paramétricas do plano . Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos utilizar a forma geral da equação de um plano e a forma paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do plano . Essa é a equação geral de um plano no espaço tridimensional, que pode ser escrita na forma , onde é o vetor normal ao plano. No nosso caso, comparando com , vemos que , e (já que não há termo com ). Portanto, o vetor normal ao plano é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as equações paramétricas do plano . Para isso, precisamos de um ponto qualquer que pertença ao plano e de dois vetores diretores que sejam paralelos ao plano. Vamos encontrar um ponto no plano. Vamos fixar duas variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, se e , substituindo na equação do plano: , então não está no plano. Vamos tentar e : . Então, o ponto está no plano.

Passo 4

Agora, vamos encontrar dois vetores diretores. Como o vetor normal ao plano é , qualquer vetor que seja perpendicular a estará no plano. Podemos escolher dois vetores quaisquer que satisfaçam essa condição. Por exemplo: 1. Primeiro vetor diretor, escolhendo , , : 2. Segundo vetor diretor, escolhendo , , : Vamos verificar se esses vetores são realmente diretores do plano, ou seja, se são perpendiculares ao vetor normal: Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares ao vetor normal e, portanto, estão no plano.

Passo 5

Com o ponto e os vetores diretores e , podemos escrever as equações paramétricas do plano. As equações paramétricas de um plano são dadas por: Onde é o ponto no plano e e são os vetores diretores, com e sendo parâmetros. Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

As equações paramétricas do plano são: Onde e são parâmetros reais.

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