Determine a equação geral do plano que satisfaz as seguintes propriedades. Escreva as equações paramétricas do plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar a equação geral de um plano que satisfaz certas propriedades e, além disso, escrever as equações paramétricas do plano . Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos utilizar a forma geral da equação de um plano e a forma paramétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do plano . Essa é a equação geral de um plano no espaço tridimensional, que pode ser escrita na forma , onde é o vetor normal ao plano.
No nosso caso, comparando com , vemos que , e (já que não há termo com ). Portanto, o vetor normal ao plano é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar as equações paramétricas do plano . Para isso, precisamos de um ponto qualquer que pertença ao plano e de dois vetores diretores que sejam paralelos ao plano.
Vamos encontrar um ponto no plano. Vamos fixar duas variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, se e , substituindo na equação do plano:
, então não está no plano. Vamos tentar e :
. Então, o ponto está no plano.
Passo 4
Agora, vamos encontrar dois vetores diretores. Como o vetor normal ao plano é , qualquer vetor que seja perpendicular a estará no plano.
Podemos escolher dois vetores quaisquer que satisfaçam essa condição. Por exemplo:
1. Primeiro vetor diretor, escolhendo , , :
2. Segundo vetor diretor, escolhendo , , :
Vamos verificar se esses vetores são realmente diretores do plano, ou seja, se são perpendiculares ao vetor normal:
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares ao vetor normal e, portanto, estão no plano.
Passo 5
Com o ponto e os vetores diretores e , podemos escrever as equações paramétricas do plano.
As equações paramétricas de um plano são dadas por:
Onde é o ponto no plano e e são os vetores diretores, com e sendo parâmetros.
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
As equações paramétricas do plano são:
Onde e são parâmetros reais.