Calcule a distância entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Geometria Analítica, especificamente sobre distância entre planos. A gente vai precisar entender como calcular a distância entre dois planos paralelos usando as equações deles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações dos planos:
- Plano π:
- Plano β:
Passo 3
Vamos verificar se os planos são paralelos. Dois planos são paralelos se os vetores normais deles forem múltiplos um do outro.
- Vetor normal de π:
- Vetor normal de β:
Como
, os planos são realmente paralelos.
Passo 4
Agora, para calcular a distância entre dois planos paralelos, usamos a fórmula:
Onde:
-
e são os termos constantes das equações dos planos. -
é a norma (magnitude) do vetor normal.
Passo 5
Vamos ajustar as equações para que ambas tenham o mesmo vetor normal. Vou simplificar a equação do plano β dividindo todos os termos por 2:
Agora, as equações ficam:
- Plano π:
→ - Plano β:
→
Passo 6
Calculamos a norma do vetor normal
:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da distância:
Para deixar a resposta com o denominador racionalizado:
Resposta
A distância entre os planos π e β é
unidades.
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