Calcule a distância entre os planos pi: x+y+z-4=0 e beta: 2 x+2 y+2 z-3=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Geometria Analítica, especificamente sobre distância entre planos. A gente vai precisar entender como calcular a distância entre dois planos paralelos usando as equações deles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações dos planos:
  • Plano π:
  • Plano β:

Passo 3

Vamos verificar se os planos são paralelos. Dois planos são paralelos se os vetores normais deles forem múltiplos um do outro.
  • Vetor normal de π:
  • Vetor normal de β:
Como , os planos são realmente paralelos.

Passo 4

Agora, para calcular a distância entre dois planos paralelos, usamos a fórmula:
Distância = |D2 - D1||n| â
Onde:
  • e são os termos constantes das equações dos planos.
  • é a norma (magnitude) do vetor normal.

Passo 5

Vamos ajustar as equações para que ambas tenham o mesmo vetor normal. Vou simplificar a equação do plano β dividindo todos os termos por 2:
beta: 2x + 2y + 2z - 32 = x + y + z - 32 = 0
Agora, as equações ficam:
  • Plano π:
  • Plano β:

Passo 6

Calculamos a norma do vetor normal |n| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3 :

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da distância:
Distância = |-4 - (-32)|raiz3 = |-4 + 32|raiz3 = 52raiz3 = 52raiz3 â
Para deixar a resposta com o denominador racionalizado:
52raiz3 cdot raiz3raiz3 = 5raiz36

Resposta

A distância entre os planos π e β é unidades.

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