As equações abaixo representam curvas no plano. Em cada caso, determine a equação reduzida da curva e identifique se é uma circunferência, hipérbole ou elipse.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação que representa uma curva no plano. O conteúdo que vamos usar aqui é da geometria analítica, especificamente as equações de segundo grau. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado e identificar que tipo de curva temos: circunferência, elipse ou hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada de forma mais clara:
Passo 3
Vamos agrupar os termos de
e os termos de
:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Para completar o quadrado dentro do parênteses, pegamos metade do coeficiente de
, que é
, e elevamos ao quadrado:
Adicionar e subtrair esse valor dentro do parênteses:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Pegamos metade do coeficiente de
, que é
, e elevamos ao quadrado:
Adicionar e subtrair esse valor:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos isolar os termos constantes do lado direito:
Para facilitar, dividimos toda a equação por 42 para obter 1 no lado direito:
Simplificando as frações:
Passo 7
Agora, com a equação na forma reduzida:
Podemos identificar que essa é a equação de uma elipse, pois temos a soma de dois termos quadráticos igual a 1 e os denominadores são diferentes.
Resposta
A equação reduzida da curva é
e ela representa uma elipse.