As equações abaixo representam curvas no plano. Em cada caso, determine a equação reduzida da curva e identifique se é uma circunferência, hipérbole ou elipse. (3,0) x^2+y^2-6 x+12 y-3=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação que representa uma curva no plano. O conteúdo que vamos usar aqui é da geometria analítica, especificamente as equações de segundo grau. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado e identificar que tipo de curva temos: circunferência, elipse ou hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada de forma mais clara:
3x^2 + y^2 - 6x + 12y - 3 = 0

Passo 3

Vamos agrupar os termos de 3x^2 - 6x + y^2 + 12y = 3 e os termos de :

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 3(x^2 - 2x) + y^2 + 12y = 3 . Primeiro, fatoramos o coeficiente de (-22)^2 = 1 :
3(x^2 - 2x + 1 - 1) + y^2 + 12y = 3
Para completar o quadrado dentro do parênteses, pegamos metade do coeficiente de 3[(x - 1)^2 - 1] + y^2 + 12y = 3 , que é 3(x - 1)^2 - 3 + y^2 + 12y = 3 , e elevamos ao quadrado:
Adicionar e subtrair esse valor dentro do parênteses:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de (122)^2 = 36 . Pegamos metade do coeficiente de 3(x - 1)^2 - 3 + y^2 + 12y + 36 - 36 = 3 , que é 3(x - 1)^2 - 3 + (y + 6)^2 - 36 = 3 , e elevamos ao quadrado:
3(x - 1)^2 + (y + 6)^2 - 39 = 3
Adicionar e subtrair esse valor:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos isolar os termos constantes do lado direito:
3(x - 1)^2 + (y + 6)^2 = 42
Para facilitar, dividimos toda a equação por 42 para obter 1 no lado direito:
3(x - 1)^242 + (y + 6)^242 = 1
Simplificando as frações:
(x - 1)^214 + (y + 6)^242 = 1

Passo 7

Agora, com a equação na forma reduzida:
(x - 1)^214 + (y + 6)^242 = 1
Podemos identificar que essa é a equação de uma elipse, pois temos a soma de dois termos quadráticos igual a 1 e os denominadores são diferentes.

Resposta

A equação reduzida da curva é
(x - 1)^214 + (y + 6)^242 = 1
e ela representa uma elipse.

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