As equações abaixo representam curvas no plano. Em cada caso, determine a equação reduzida da curva e identifique se é uma circunferência, hipérbole ou elipse. ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação que representa uma curva no plano. O conteúdo que vamos usar aqui é da geometria analítica, especificamente as equações de segundo grau. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado e identificar que tipo de curva temos: circunferência, elipse ou hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada de forma mais clara:

Passo 3

Vamos agrupar os termos de e os termos de :

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de . Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Para completar o quadrado dentro do parênteses, pegamos metade do coeficiente de , que é , e elevamos ao quadrado:
Adicionar e subtrair esse valor dentro do parênteses:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de . Pegamos metade do coeficiente de , que é , e elevamos ao quadrado:
Adicionar e subtrair esse valor:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos isolar os termos constantes do lado direito:
Para facilitar, dividimos toda a equação por 42 para obter 1 no lado direito:
Simplificando as frações:

Passo 7

Agora, com a equação na forma reduzida:
Podemos identificar que essa é a equação de uma elipse, pois temos a soma de dois termos quadráticos igual a 1 e os denominadores são diferentes.

Resposta

A equação reduzida da curva é
e ela representa uma elipse.

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