Calcule a distância entre os planos pi1 e pi2.
(b) pi1: 2 x+2 y+2 z=5, pi2: X=(2,1,2)+lambda(-1,0,3)+mu(1,1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a distância entre dois planos: e . A gente vai usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Precisamos entender as equações dos planos e como encontrar a distância entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações dos planos. O plano n2 = u times v = i & j & k -1 & 0 & 3 1 & 1 & 0 = (-3, 3, -1) já está em forma geral: . Isso significa que o vetor normal a esse plano é .
Para o plano , ele está dado em forma paramétrica: . As direções dadas por e são os vetores e . Para encontrar o vetor normal ao plano , vamos calcular o produto vetorial de e :
Então, temos .

Passo 3

Agora, para calcular a distância entre os dois planos, precisamos verificar se eles são paralelos. Dois planos são paralelos se seus vetores normais forem múltiplos entre si. Vamos comparar e .
Observando as componentes:
Como as razões das componentes não são iguais, os vetores normais não são múltiplos, ou seja, os planos não são paralelos.

Passo 4

Se os planos não são paralelos, eles se interceptam em uma reta comum. Quando dois planos se interceptam, a distância entre eles em qualquer ponto específico é zero, pois eles têm pelo menos um ponto em comum.

Resposta

A distância entre os planos e é 0 unidades.

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