dadas as retas e .
calcule , a distância entre & ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas no espaço, dadas pelas equações paramétricas:
A gente precisa calcular a distância entre essas duas retas, representada por . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no espaço e a forma de calcular a distância entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das duas retas. O vetor diretor de uma reta indica a direção em que a reta está apontando e é dado pelos coeficientes de ou nas equações paramétricas.
Para a reta , o vetor diretor é:
E para a reta , o vetor diretor é:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou se são retas quaisquer no espaço (chamadas de retas “skew”). Para isso, calculamos o produto vetorial :
Calculando cada componente:
Como o produto vetorial não é o vetor nulo, as retas não são paralelas nem coincidentes; portanto, são retas skew.

Passo 4

Para calcular a distância entre duas retas skew, usamos a fórmula:
Onde:
  • e são pontos quaisquer nas retas e , respectivamente.
  • e são os vetores diretores das retas.
  • representa o produto vetorial.
  • representa o produto escalar.

Passo 5

Vamos escolher e para encontrar pontos específicos nas retas e :
Para com :
Para com :
Agora, calculamos :

Passo 6

Já calculamos .
Agora, fazemos o produto escalar :
O valor absoluto desse resultado é 4.

Passo 7

Agora, vamos calcular o módulo de :

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:

Resposta

A distância entre as retas e é unidades.

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Determine as equaçōes paramétricas das seguintes retas:
que passa pelo ponto e 6 perpendicular ao plano ;
O plano é determinado pelas retas e . Obtenha equações gerais dos planos que distam 2 de .
Encontre a solução geral dos seguintes sistemas abaixo:
Calcule a distância entre os planos e .
(b)