dadas as retas e r2:lx=-1+3 t y=1-t z=-1+2 t s, t in R.
calcule d(r1, r2), a distância entre r1 & r2;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas no espaço, dadas pelas equações paramétricas:
r1: x = 3 + s y = 1 + s z = 4 + 2s
r2: x = -1 + 3t y = 1 - t z = -1 + 2t
A gente precisa calcular a distância entre essas duas retas, representada por . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no espaço e a forma de calcular a distância entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das duas retas. O vetor diretor de uma reta indica a direção em que a reta está apontando e é dado pelos coeficientes de u = 1 1 2 ou v = 3 -1 2 nas equações paramétricas.
Para a reta , o vetor diretor é:
E para a reta , o vetor diretor é:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou se são retas quaisquer no espaço (chamadas de retas “skew”). Para isso, calculamos o produto vetorial u times v = i & j & k 1 & 1 & 2 3 & -1 & 2 = i(1 cdot 2 - 2 cdot (-1)) - j(1 cdot 2 - 2 cdot 3) + k(1 cdot (-1) - 1 cdot 3) :
u times v = 4 4 -4
Calculando cada componente:
Como o produto vetorial não é o vetor nulo, as retas não são paralelas nem coincidentes; portanto, são retas skew.
Passo 4
Para calcular a distância entre duas retas skew, usamos a fórmula:
d = |(r2 - r1) cdot (u times v)||u times v|
Onde:
e são pontos quaisquer nas retas e , respectivamente.
e são os vetores diretores das retas.
representa o produto vetorial.
representa o produto escalar.
Passo 5
Vamos escolher r1 = 3 1 4 e r2 = -1 1 -1 para encontrar pontos específicos nas retas r2 - r1 = -1 - 3 1 - 1 -1 - 4 = -4 0 -5 e :
Para com :
Para com :
Agora, calculamos :
Passo 6
Já calculamos 4 4 -4 .
Agora, fazemos o produto escalar (r2 - r1) cdot (u times v) = (-4)(4) + (0)(4) + (-5)(-4) = -16 + 0 + 20 = 4 :
O valor absoluto desse resultado é 4.
Passo 7
Agora, vamos calcular o módulo de |u times v| = raiz4^2 + 4^2 + (-4)^2 = raiz16 + 16 + 16 = raiz48 = 4raiz3 :