Determine a equaçâo cartesiana do plano pi descrito nos casos abaixo.
pi : contém os pontos A=(1,1,0), B=(0,3,0) C C=(2,-1,2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação cartesiana do plano pi que passa pelos pontos A=(1,1,0), B=(0,3,0) e C=(2,-1,2). Vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, especificamente como determinar a equação de um plano a partir de três pontos. Para isso, vamos precisar descobrir dois vetores que estão no plano e depois encontrar um vetor normal a esse plano usando o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores no plano pi. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos dados:
  • Vetor AB = B - A = (0-1, 3-1, 0-0) = (-1, 2, 0)
  • Vetor AC = C - A = (2-1, -1-1, 2-0) = (1, -2, 2)

Passo 3

Agora que temos os vetores AB = (-1, 2, 0) e AC = (1, -2, 2), vamos encontrar um vetor normal ao plano pi. Para isso, usamos o produto vetorial entre AB e AC. O vetor normal n é dado por:
n = AB times AC
Calculando o produto vetorial:
n = i & j & k -1 & 2 & 0 1 & -2 & 2 = i(2 cdot 2 - 0 cdot (-2)) - j(-1 cdot 2 - 0 cdot 1) + k(-1 cdot (-2) - 2 cdot 1)
n = i(4 - 0) - j(-2 - 0) + k(2 - 2) = (4, 2, 0)

Passo 4

Com o vetor normal n = (4, 2, 0), podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
4(x - x0) + 2(y - y0) + 0(z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é um ponto qualquer do plano. Podemos usar o ponto A=(1,1,0):
4(x - 1) + 2(y - 1) + 0(z - 0) = 0
Simplificando:
4x - 4 + 2y - 2 = 0 implies 4x + 2y - 6 = 0

Resposta

A equação cartesiana do plano pi é:
4x + 2y - 6 = 0

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