Encontre a solução geral dos seguintes sistemas abaixo:
Passo 1
Então, temos um sistema de equações diferenciais lineares que é representado por:
Vamos resolver esse sistema encontrando a solução geral. Para isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores da matriz que está multiplicando o vetor . Isso nos ajudará a decifrar como o sistema evolui ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação:
onde é a matriz identidade de mesma dimensão que .
Passo 3
Vamos calcular o determinante :
O determinante dessa matriz é:
Simplificando:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar .
Passo 4
Vamos resolver :
Encontramos que os autovalores são as soluções da equação cúbica acima. Para simplificar, podemos tentar encontrar raízes racionais testando possíveis valores de :
Tentando :
Tentando :
Então, é um autovalor. Fazendo a divisão polinomial ou usando fatoração, podemos encontrar que os outros autovalores são e novamente (autovalor de multiplicidade 2).
Passo 5
Agora que temos os autovalores (com multiplicidade 2) e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Primeiro, para :
Resolvemos :
Reduzindo o sistema, obtemos:
Podemos escolher e , então .
Para encontrar outro autovetor independente para , precisamos considerar vetores generalizados, mas para simplificar, vamos usar apenas um autovetor e tratar a multiplicidade mais tarde.
Agora, para :
Resolvemos :
Reduzindo o sistema, obtemos:
Da última equação, . Substituindo na primeira:
→ →
Escolhendo , temos e . Então, um autovetor é .
Passo 6
Agora que temos os autovalores e os autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução geral é uma combinação linear dos autovetores multiplicados por exponenciais dos autovalores correspondentes.
Para com autovetor :
Para com autovetor :
Como tem multiplicidade 2, precisamos de um segundo autovetor ou considerar uma solução generalizada. Para simplificar, assumiremos apenas a solução básica.