Dados os vetores u=(2,-1,1), v=(1,-1,0) e w=(-1,2,2), calcular:
u cdot(v times w)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A gente precisa calcular o produto escalar entre o vetor u e o produto vetorial dos vetores v e w. Isso envolve noções de álgebra vetorial, especificamente produto escalar (dot product) e produto vetorial (cross product). Para isso, vamos precisar conhecer as fórmulas desses produtos e como aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre v e w, ou seja, v × w. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial de v = (v₁, v₂, v₃) e w = (w₁, w₂, w₃) é:
v times w = ( v2 w3 - v3 w2, v3 w1 - v1 w3, v1 w2 - v2 w1 )

Passo 3

Aplicando a fórmula, vamos substituir os componentes dos vetores v = (1, -1, 0) e w = (-1, 2, 2):
v times w = ( (-1)(2) - (0)(2), (0)(-1) - (1)(2), (1)(2) - (-1)(-1) )
Calculando cada componente:
v times w = ( -2 - 0, 0 - 2, 2 - 1 ) = (-2, -2, 1)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar entre u e o resultado que obtivemos, ou seja, u · (v × w). O produto escalar de dois vetores resulta em um número e é calculado multiplicando os componentes correspondentes e somando:
u cdot (v times w) = u1 (v times w)1 + u2 (v times w)2 + u3 (v times w)3

Passo 5

Substituindo os valores dos vetores u = (2, -1, 1) e v × w = (-2, -2, 1):
u cdot (v times w) = 2(-2) + (-1)(-2) + 1(1) = -4 + 2 + 1 = -1

Resposta

O valor de u cdot(v times w) é -1.

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