Calcule a distância entre os planos pi1 e pi2.
(a) pi1: 2 x-y+2 z+0=0, pi2: 4 x-2 y+4 z-21=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a distância entre dois planos, usando Geometria Analítica. Para isso, vamos precisar identificar as equações dos planos e aplicar a fórmula da distância entre planos paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações dos planos:
pi1: 2x - y + 2z = 0
pi2: 4x - 2y + 4z - 21 = 0
Observamos que os coeficientes de , e na são exatamente o dobro dos da , ou seja, , e . Isso mostra que os planos são paralelos.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação da pi2: 4x2 - 2y2 + 4z2 - 212 = 0 Rightarrow 2x - y + 2z - 10.5 = 0 dividindo todos os termos por 2 para facilitar a comparação:
pi1: 2x - y + 2z = 0
Agora temos:
pi2: 2x - y + 2z - 10.5 = 0
A diferença está apenas no termo constante, confirmando novamente que os planos são paralelos.

Passo 4

A fórmula para calcular a distância D = |d2 - d1|raiza^2 + b^2 + c^2 entre dois planos paralelos d1 = 0 e d2 = -10.5 e é:
No nosso caso:
Os coeficientes , e são 2, -1 e 2, respectivamente.

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula:
D = |-10.5 - 0|raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = 10.5raiz4 + 1 + 4 = 10.5raiz9 = 10.53 = 3.5

Resposta

A distância entre os planos e é de 3,5 unidades.

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