dadas as retas e .
Determine as equaçōes paramétricas da reta que interseta perpendicularmente as retas & .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar as equações paramétricas de uma reta que intersecta perpendicularmente as retas e . Isso envolve alguns conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, como vetores diretores, produtos vetoriais e condições de perpendicularidade. Vamos precisar entender como encontrar vetores perpendiculares a duas retas e determinar pontos que satisfaçam essas condições. Preparado? Então vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . As equações paramétricas de uma reta no espaço têm a forma:
Onde é um ponto na reta e é o vetor diretor.
Para a reta :
O vetor diretor é .
Para a reta :
O vetor diretor é .

Passo 3

Agora, queremos encontrar um vetor diretor para a reta que seja perpendicular a ambos e . Para isso, usamos o produto vetorial entre e , que nos dá um vetor perpendicular a ambos.
O produto vetorial é definido como:
Calculando o determinante:
Podemos simplificar dividindo por 4:
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 4

Agora que temos o vetor diretor da reta , precisamos determinar um ponto que essa reta passa. Como intersecta perpendicularmente e , esse ponto deve estar na interseção das perpendiculares às duas retas.
Para encontrar esse ponto, podemos resolver o sistema de equações que garante que a reta seja perpendicular a e . Isso envolve garantir que o vetor direção seja perpendicular aos vetores diretores de e .
Entretanto, como já encontramos usando o produto vetorial, sabemos que ele é perpendicular a ambos. Agora, precisamos apenas encontrar um ponto que pertença à reta .
Vamos supor que a reta passe pelo ponto . Este ponto deve satisfazer as condições de perpendicularidade, ou seja, o vetor que vai de a deve ser perpendicular a , e o vetor de a deve ser perpendicular a .
Isso resulta em um sistema de equações que podemos resolver para encontrar as coordenadas de .

Passo 5

Vamos definir os pontos nas retas e :
Para , qualquer ponto pode ser representado como .
Para , qualquer ponto pode ser representado como .
Suponha que a reta intersecta no parâmetro e no parâmetro . Assim, o ponto de interseção com é e com é .
O vetor que liga esses dois pontos será paralelo à reta , ou seja, terá a mesma direção de . Então:
Onde é um constante proporcional.
Vamos resolver esse sistema:
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Agora, substituímos da equação (2) na equação (1):
Agora, substituímos na equação (2):
E na equação (3):
Substituindo :
Então, substituindo de volta:

Resposta

A reta que intersecta perpendicularmente as retas e possui as seguintes equações paramétricas:

Exercícios relacionados

Calcule a distância entre os planos e .
(a)
Encontre a solução geral dos seguintes sistemas abaixo:
Determine a equaçâo cartesiana do plano descrito nos casos abaixo.
: perpendicular ao vetor cuja distáncia ao ponto 2 unidades;
O plano é determinado pelas retas e . Obtenha equações gerais dos planos que distam 2 de .