dadas as retas e r2:lx=-1+3 t y=1-t z=-1+2 t s, t in R.
Determine as equaçōes paramétricas da reta r que interseta perpendicularmente as retas r1 & r2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar as equações paramétricas de uma reta que intersecta perpendicularmente as retas e . Isso envolve alguns conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, como vetores diretores, produtos vetoriais e condições de perpendicularidade. Vamos precisar entender como encontrar vetores perpendiculares a duas retas e determinar pontos que satisfaçam essas condições. Preparado? Então vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t e x = 3 + s y = 1 + s z = 4 + 2s . As equações paramétricas de uma reta no espaço têm a forma:
x = -1 + 3t y = 1 - t z = -1 + 2t
Onde é um ponto na reta e é o vetor diretor.
Para a reta :
O vetor diretor é .
Para a reta :
O vetor diretor é .
Passo 3
Agora, queremos encontrar um vetor diretor v = v1 times v2 = i & j & k 1 & 1 & 2 3 & -1 & 2 para a reta v = i(1 cdot 2 - 2 cdot (-1)) - j(1 cdot 2 - 2 cdot 3) + k(1 cdot (-1) - 1 cdot 3) que seja perpendicular a ambos v = i(2 + 2) - j(2 - 6) + k(-1 - 3) e v = i(4) - j(-4) + k(-4) . Para isso, usamos o produto vetorial entre v = (4, 4, -4) e v = (1, 1, -1) , que nos dá um vetor perpendicular a ambos.
O produto vetorial é definido como:
Calculando o determinante:
Podemos simplificar dividindo por 4:
Então, o vetor diretor da reta é .
Passo 4
Agora que temos o vetor diretor da reta , precisamos determinar um ponto que essa reta passa. Como intersecta perpendicularmente e , esse ponto deve estar na interseção das perpendiculares às duas retas.
Para encontrar esse ponto, podemos resolver o sistema de equações que garante que a reta seja perpendicular a e . Isso envolve garantir que o vetor direção seja perpendicular aos vetores diretores de e .
Entretanto, como já encontramos usando o produto vetorial, sabemos que ele é perpendicular a ambos. Agora, precisamos apenas encontrar um ponto que pertença à reta .
Vamos supor que a reta passe pelo ponto . Este ponto deve satisfazer as condições de perpendicularidade, ou seja, o vetor que vai de a deve ser perpendicular a , e o vetor de a deve ser perpendicular a .
Isso resulta em um sistema de equações que podemos resolver para encontrar as coordenadas de .
Passo 5
Vamos definir os pontos nas retas -1 + 3t0 - (3 + s0) = k cdot 1 1 - t0 - (1 + s0) = k cdot 1 -1 + 2t0 - (4 + 2s0) = k cdot (-1) e -1 + 3t0 - 3 - s0 = k -4 + 3t0 - s0 = k (1) :
Para 1 - t0 - 1 - s0 = k -t0 - s0 = k (2) , qualquer ponto pode ser representado como -1 + 2t0 - 4 - 2s0 = -k -5 + 2t0 - 2s0 = -k (3) .
Para -4 + 3t0 - s0 = -t0 - s0 -4 + 3t0 = -t0 4t0 = 4 t0 = 1 , qualquer ponto pode ser representado como -1 - s0 = k s0 = -1 - k .
Suponha que a reta -5 + 2(1) - 2s0 = -k -5 + 2 - 2s0 = -k -3 - 2s0 = -k intersecta -3 - 2(-1 - k) = -k -3 + 2 + 2k = -k -1 + 2k = -k 3k = 1 k = 13 no parâmetro s0 = -1 - 13 = -43 e no parâmetro . Assim, o ponto de interseção com é e com é .
O vetor que liga esses dois pontos será paralelo à reta , ou seja, terá a mesma direção de . Então:
Onde é um constante proporcional.
Vamos resolver esse sistema:
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Agora, substituímos da equação (2) na equação (1):
Agora, substituímos na equação (2):
E na equação (3):
Substituindo :
Então, substituindo de volta:
Resposta
A reta x = 53 + t y = 13 + t z = 103 - t que intersecta perpendicularmente as retas e possui as seguintes equações paramétricas: