dadas as retas r1:lx=3+s y=1+s z=4+2 s e r2:lx=-1+3 t y=1-t z=-1+2 t s, t in R.
Verifique que r1 e r2 säo retas reversas;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se as retas e são retas reversas, ou seja, retas que não são paralelas e nem se intersectam. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como parâmetros das retas e vetores de direção. Precisamos analisar as equações paramétricas de cada reta e checar se elas são paralelas ou se existem valores de e que fazem as retas se cruzarem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores de direção de cada reta a partir das equações paramétricas.
Para x = 3 + s y = 1 + s z = 4 + 2s :
1 1 2
O vetor de direção de x = -1 + 3t y = 1 - t z = -1 + 2t é 3 -1 2 .
Para :
O vetor de direção de é .

Passo 3

Vamos verificar se as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se seus vetores de direção são múltiplos um do outro, ou seja, se existir um número 1 1 2 neq k 3 -1 2 tal que .
Comparando os vetores:
Não existe um que satisfaça todas as componentes simultaneamente. Portanto, as retas não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, precisamos verificar se elas se intersectam. Para isso, buscamos valores de 3 + s = -1 + 3t 1 + s = 1 - t 4 + 2s = -1 + 2t e 1 + s = 1 - t implies s = -t que satisfaçam as equações:
3 - t = -1 + 3t implies 4 = 4t implies t = 1
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação:
4 + 2(-1) = -1 + 2(1) implies 4 - 2 = -1 + 2 implies 2 = 1
Substituindo na primeira equação:
Então, .
Agora, verificamos na terceira equação:
Isso não faz sentido, já que . Portanto, não existe uma solução que satisfaça todas as três equações simultaneamente.

Resposta

Concluímos que as retas e não são paralelas e também não se interceptam, o que significa que elas são retas reversas.

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