Determine a equaçâo cartesiana do plano descrito nos casos abaixo.
: perpendicular ao vetor cuja distáncia ao ponto 2 unidades;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação cartesiana de um plano, chamado de . Esse plano é perpendicular ao vetor e está a uma distância de 2 unidades do ponto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano no espaço é dada por:
Aqui, é o vetor normal ao plano. No nosso caso, o vetor normal é , então temos:
Agora, precisamos encontrar o valor de .

Passo 3

Para achar , usamos a fórmula da distância de um ponto até o plano :
â
Sabemos que a distância é 2 unidades e o ponto é . Vamos substituir os valores:

Passo 4

Vamos calcular o denominador primeiro:
Agora, a equação fica:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar a fração:
Isso significa que:
Vamos resolver as duas possibilidades.

Passo 6

Primeira possibilidade:
Segunda possibilidade:

Passo 7

Agora, substituímos os valores de na equação do plano:
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

As equações cartesianas do plano são:

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(a)
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