Determine a equaçâo cartesiana do plano pi descrito nos casos abaixo.
pi : perpendicular ao vetor v=[2,-2,1] cuja distáncia ao ponto P=(3,2,-1) epsilon 2 unidades;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação cartesiana de um plano, chamado de pi. Esse plano é perpendicular ao vetor v = [2, -2, 1] e está a uma distância de 2 unidades do ponto P = (3, 2, -1). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano no espaço é dada por:
A x + B y + C z + D = 0
Aqui, [A, B, C] é o vetor normal ao plano. No nosso caso, o vetor normal é v = [2, -2, 1], então temos:
2x - 2y + z + D = 0
Agora, precisamos encontrar o valor de D.

Passo 3

Para achar D, usamos a fórmula da distância de um ponto (x0, y0, z0) até o plano Ax + By + Cz + D = 0:
distância = ,|A x0 + B y0 + C z0 + D|,raizA^2 + B^2 + C^2 â
Sabemos que a distância é 2 unidades e o ponto é P = (3, 2, -1). Vamos substituir os valores:
2 = ,|2 cdot 3 + (-2) cdot 2 + 1 cdot (-1) + D|,raiz2^2 + (-2)^2 + 1^2

Passo 4

Vamos calcular o denominador primeiro:
raiz2^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3
Agora, a equação fica:
2 = ,|6 - 4 - 1 + D|,3
Simplificando o numerador:
6 - 4 - 1 + D = 1 + D
Então:
2 = ,|1 + D|,3

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar a fração:
6 = |1 + D|
Isso significa que:
1 + D = 6 ou 1 + D = -6
Vamos resolver as duas possibilidades.

Passo 6

Primeira possibilidade:
1 + D = 6 implies D = 6 - 1 implies D = 5
Segunda possibilidade:
1 + D = -6 implies D = -6 - 1 implies D = -7

Passo 7

Agora, substituímos os valores de D na equação do plano:
  1. Para D = 5:
2x - 2y + z + 5 = 0
  1. Para D = -7:
2x - 2y + z - 7 = 0

Resposta

As equações cartesianas do plano pi são:
2x - 2y + z + 5 = 0 e 2x - 2y + z - 7 = 0

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