Determine a equaçâo cartesiana do plano descrito nos casos abaixo. : perpendicular ao vetor cuja distáncia ao ponto 2 unidades;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação cartesiana de um plano, chamado de . Esse plano é perpendicular ao vetor e está a uma distância de 2 unidades do ponto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano no espaço é dada por:
Aqui, é o vetor normal ao plano. No nosso caso, o vetor normal é , então temos:
Agora, precisamos encontrar o valor de .
Passo 3
Para achar , usamos a fórmula da distância de um ponto até o plano :
Sabemos que a distância é 2 unidades e o ponto é . Vamos substituir os valores:
Passo 4
Vamos calcular o denominador primeiro:
Agora, a equação fica:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar a fração:
Isso significa que:
Vamos resolver as duas possibilidades.
Passo 6
Primeira possibilidade:
Segunda possibilidade:
Passo 7
Agora, substituímos os valores de na equação do plano: