Encontre a solução geral dos seguintes sistemas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais onde a derivada de
em relação ao tempo é igual a uma matriz multiplicada por
. O objetivo é encontrar a solução geral desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender de matrizes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Isso significa que precisamos resolver a equação característica
, onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 3
Vamos montar a equação característica. A matriz
é:
Então,
fica:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com
.
Montamos o sistema
:
[
]
Resolvendo isso, encontramos que
. Então, um autovetor correspondente a
é:
Fazendo o mesmo para
, encontramos:
Passo 5
Com os autovalores e autovetores em mão, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções encontradas. Isso fica assim:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Resposta
A solução geral do sistema é
onde
e
são constantes arbitrárias.