Encontre a solução geral dos seguintes sistemas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais onde a derivada de em relação ao tempo é igual a uma matriz multiplicada por . O objetivo é encontrar a solução geral desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender de matrizes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Isso significa que precisamos resolver a equação característica , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 3
Vamos montar a equação característica. A matriz é:
Então, fica:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com .
Montamos o sistema :
[
]
Resolvendo isso, encontramos que . Então, um autovetor correspondente a é:
Fazendo o mesmo para , encontramos:
Passo 5
Com os autovalores e autovetores em mão, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções encontradas. Isso fica assim:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.