Encontre a solução geral dos seguintes sistemas abaixo:
x^prime=(ll-3 & 52 -52 & 2) x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais onde a derivada de em relação ao tempo é igual a uma matriz multiplicada por . O objetivo é encontrar a solução geral desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender de matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Isso significa que precisamos resolver a equação característica , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Vamos montar a equação característica. A matriz A = -3 & 52 -52 & 2 é:
A - lambda I = -3 - lambda & 52 -52 & 2 - lambda
Então, det(A - lambda I) = (-3 - lambda)(2 - lambda) - (-52)(52) fica:
= (lambda^2 + lambda - 6) - 254 = lambda^2 + lambda - 494 = 0
Calculando o determinante:
lambda = -1 pm raiz1 + 492 = -1 pm raiz502 = -1 pm 5raiz22
Simplificando:
lambda1 = -1 + 5raiz22, lambda2 = -1 - 5raiz22
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com -3 - lambda1 & 52 -52 & 2 - lambda1 x1 x2 = 0 0 .
Montamos o sistema v1 = 1 1 + raiz2 :

[
v2 = 1 1 - raiz2


]
Resolvendo isso, encontramos que . Então, um autovetor correspondente a é:
Fazendo o mesmo para , encontramos:

Passo 5

Com os autovalores e autovetores em mão, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções encontradas. Isso fica assim:
x(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t) = c1 e^(-1 + 5raiz22) t 1 1 + raiz2 + c2 e^(-1 - 5raiz22) t 1 1 - raiz2
onde e são constantes arbitrárias.

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