Calcule a distância entre os planos
pi1: 2 x-3 y+z=5 pi2:-8 x+12 y-4 z=5

Passo 1

Então, temos dois planos que queremos descobrir qual a distância entre eles. As equações dos planos são:
pi1: 2x - 3y + z = 5 e pi2: -8x + 12y -4z = 5
Vamos resolver isso usando Geometria Analítica, especificamente calculando a distância entre planos paralelos. Para isso, precisamos verificar se os planos são realmente paralelos e, em seguida, aplicar a fórmula adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se os planos são paralelos. Dois planos são paralelos se os seus vetores normais são múltiplos um do outro. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano.
Para , o vetor normal é .
Para , o vetor normal é .
Observamos que , ou seja, é um múltiplo escalar de . Isso confirma que os planos são paralelos.

Passo 3

Agora que sabemos que os planos são paralelos, podemos usar a fórmula para calcular a distância entre dois planos paralelos. A fórmula é:
Distância = |D2 - D1||n| â
Aqui, e são os termos constantes nas equações dos planos, e é o módulo do vetor normal.

Passo 4

Vamos reescrever as equações dos planos de forma que ambos tenham o mesmo vetor normal. Já que pi2: -8x + 12y -4z-4 = 5-4 Rightarrow 2x - 3y + z = -54 , podemos dividir a equação de pi1: 2x - 3y + z = 5 por pi2: 2x - 3y + z = -54 para alinhar os vetores normais:
Agora, as equações dos planos são:

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância:
Distância = | -54 - 5 |raiz2^2 + (-3)^2 + 1^2 = | -254 |raiz4 + 9 + 1 = 254raiz14 = 254raiz14 â
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
Distância = 25raiz1456 â

Resposta

A distância entre os planos e é unidades, ou racionalizando, unidades.

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