Calcule a distância entre os planos

Passo 1

Então, temos dois planos que queremos descobrir qual a distância entre eles. As equações dos planos são:
Vamos resolver isso usando Geometria Analítica, especificamente calculando a distância entre planos paralelos. Para isso, precisamos verificar se os planos são realmente paralelos e, em seguida, aplicar a fórmula adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se os planos são paralelos. Dois planos são paralelos se os seus vetores normais são múltiplos um do outro. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano.
Para , o vetor normal é .
Para , o vetor normal é .
Observamos que , ou seja, é um múltiplo escalar de . Isso confirma que os planos são paralelos.

Passo 3

Agora que sabemos que os planos são paralelos, podemos usar a fórmula para calcular a distância entre dois planos paralelos. A fórmula é:
â
Aqui, e são os termos constantes nas equações dos planos, e é o módulo do vetor normal.

Passo 4

Vamos reescrever as equações dos planos de forma que ambos tenham o mesmo vetor normal. Já que , podemos dividir a equação de por para alinhar os vetores normais:
Agora, as equações dos planos são:

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância:
â
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
â

Resposta

A distância entre os planos e é unidades, ou racionalizando, unidades.

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Verifique se os conjuntos a seguir são subespaços:
e .
Calcule a distância entre o ponto e plano contendo o ponto e paralelo aos vetores e .
Verifique quais propriedades de espaço vetorial o conjunto satisfaz.
ÇÔ
Verifique se os conjuntos a seguir são subespaços:
.