Verifique quais propriedades de espaço vetorial o conjunto
satisfaz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar quais propriedades de espaço vetorial o conjunto
satisfaz. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com os axiomas de espaço vetorial. Para resolver isso, vamos checar cada propriedade uma por uma usando as operações dadas de soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto onde você pode somar vetores e multiplicar por escalares, e certas regras (axiomas) devem ser verdadeiras, como comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro, etc. Vamos verificar cada um desses axiomas para o conjunto
com as operações dadas.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento sob a adição
Isso significa que se você somar dois vetores de
, o resultado também deve estar em
.
Dada a soma:
Como
são números reais, o resultado
também terá componentes reais. Portanto, a soma está fechada em
.
Conclusão: Satisfaz o fechamento sob adição.
Passo 4
Axioma 2: Fechamento sob a multiplicação por escalar
Queremos ver se, ao multiplicar um vetor de
por um escalar
, o resultado ainda está em
.
Dada a multiplicação por escalar:
Como
e
são reais, o resultado
também está em
.
Conclusão: Satisfaz o fechamento sob a multiplicação por escalar.
Passo 5
Axioma 3: Comutatividade da adição
Isso verifica se
para quaisquer vetores
.
Vamos calcular:
Como
e
, os resultados são iguais.
Conclusão: Comutatividade da adição é satisfeita.
Passo 6
Axioma 4: Associatividade da adição
Verificamos se
.
Vamos calcular ambos os lados:
Primeiro,
:
Agora,
:
Os dois lados são iguais.
Conclusão: Associatividade da adição é satisfeita.
Passo 7
Axioma 5: Existência do elemento neutro
Precisamos encontrar um vetor
tal que
para todo
.
Vamos supor que
. Então:
Isso implica:
Portanto, o elemento neutro seria
.
Conclusão: Existe um elemento neutro em
, que é
.
Passo 8
Axioma 6: Existência do inverso aditivo
Para cada
, deve existir
tal que
.
Sabemos que
. Então:
Isso implica:
Portanto, não existe um inverso aditivo para todo vetor em
.
Conclusão: Não satisfaz a existência do inverso aditivo.
Passo 9
Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial
Queremos ver se
.
Calculando cada lado:
Esquerda:
Direita:
Os componentes y são diferentes (
vs
) a menos que
ou
.
Conclusão: Não satisfaz a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial.
Passo 10
Axioma 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Queremos ver se
.
Calculando cada lado:
Esquerda:
Direita:
Os componentes y não são iguais, a menos que
.
Conclusão: Não satisfaz a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.
Passo 11
Axioma 9: Associatividade da multiplicação por escalar
Queremos ver se
.
Calculando cada lado:
Esquerda:
Direita:
Ambos os lados são iguais.
Conclusão: Satisfaz a associatividade da multiplicação por escalar.
Passo 12
Axioma 10: Elemento neutro da multiplicação por escalar
Precisamos que
.
Vamos verificar:
Isso está correto.
Conclusão: Satisfaz o elemento neutro da multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
satisfaz as seguintes propriedades de espaço vetorial:
- Fechamento sob a adição
- Fechamento sob a multiplicação por escalar
- Comutatividade da adição
- Associatividade da adição
- Existência do elemento neutro
- Associatividade da multiplicação por escalar
- Elemento neutro da multiplicação por escalar
Porém, não satisfaz:
- Existência do inverso aditivo
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Assim,
não é um espaço vetorial completo sob as operações definidas.
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