Verifique quais propriedades de espaço vetorial o conjunto V satisfaz.
& V=(x, y) mid x, y in R & OPERAÇÔES: (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2-5, y1 cdot y2) & alpha(x1, y1)=(x1, alpha y1) com alpha in R ÇÔ

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar quais propriedades de espaço vetorial o conjunto satisfaz. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com os axiomas de espaço vetorial. Para resolver isso, vamos checar cada propriedade uma por uma usando as operações dadas de soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto onde você pode somar vetores e multiplicar por escalares, e certas regras (axiomas) devem ser verdadeiras, como comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro, etc. Vamos verificar cada um desses axiomas para o conjunto com as operações dadas.

Passo 3

Axioma 1: Fechamento sob a adição
Isso significa que se você somar dois vetores de (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 - 5, y1 cdot y2) , o resultado também deve estar em .
Dada a soma:
Como são números reais, o resultado também terá componentes reais. Portanto, a soma está fechada em .
Conclusão: Satisfaz o fechamento sob adição.

Passo 4

Axioma 2: Fechamento sob a multiplicação por escalar
Queremos ver se, ao multiplicar um vetor de alpha(x, y) = (x, alpha y) por um escalar , o resultado ainda está em .
Dada a multiplicação por escalar:
Como e são reais, o resultado também está em .
Conclusão: Satisfaz o fechamento sob a multiplicação por escalar.

Passo 5

Axioma 3: Comutatividade da adição
Isso verifica se (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 - 5, y1 cdot y2) para quaisquer vetores (x2, y2) + (x1, y1) = (x2 + x1 - 5, y2 cdot y1) .
Vamos calcular:
Como e , os resultados são iguais.
Conclusão: Comutatividade da adição é satisfeita.

Passo 6

Axioma 4: Associatividade da adição
Verificamos se ((x1 + x2 - 5, y1 y2)) + (x3, y3) = ((x1 + x2 - 5) + x3 - 5, y1 y2 y3) .
Vamos calcular ambos os lados:
Primeiro, = (x1 + x2 + x3 - 10, y1 y2 y3) :
(x1, y1) + ((x2 + x3 - 5, y2 y3)) = (x1 + (x2 + x3 - 5) - 5, y1 y2 y3)
= (x1 + x2 + x3 - 10, y1 y2 y3)
Agora, :
Os dois lados são iguais.
Conclusão: Associatividade da adição é satisfeita.

Passo 7

Axioma 5: Existência do elemento neutro
Precisamos encontrar um vetor (x, y) + (a, b) = (x + a - 5, y cdot b) = (x, y) tal que x + a - 5 = x implies a = 5 para todo y cdot b = y implies b = 1 (já que y neq 0 para todo y in R) .
Vamos supor que . Então:
Isso implica:
á
Portanto, o elemento neutro seria .
Conclusão: Existe um elemento neutro em , que é .

Passo 8

Axioma 6: Existência do inverso aditivo
Para cada (x, y) + (-x, b) = (x - x - 5, y cdot b) = (-5, y cdot b) = (5, 1) , deve existir -5 = 5 (o que não é verdade) tal que .
Sabemos que . Então:
Isso implica:
ãé
Portanto, não existe um inverso aditivo para todo vetor em .
Conclusão: Não satisfaz a existência do inverso aditivo.

Passo 9

Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial
Queremos ver se alpha((x1 + x2 -5, y1 y2)) = (x1 + x2 -5, alpha (y1 y2)) .
Calculando cada lado:
Esquerda:
alpha(x1, y1) + alpha(x2, y2) = (x1, alpha y1) + (x2, alpha y2) = (x1 + x2 -5, (alpha y1)(alpha y2)) = (x1 + x2 -5, alpha^2 y1 y2)
Direita:
Os componentes y são diferentes ( vs ) a menos que ou .
Conclusão: Não satisfaz a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial.

Passo 10

Axioma 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Queremos ver se (alpha + beta)(x, y) = (x, (alpha + beta)y) .
Calculando cada lado:
Esquerda:
alpha(x, y) + beta(x, y) = (x, alpha y) + (x, beta y) = (x + x -5, alpha y cdot beta y) = (2x -5, alpha beta y^2)
Direita:
Os componentes y não são iguais, a menos que .
Conclusão: Não satisfaz a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.

Passo 11

Axioma 9: Associatividade da multiplicação por escalar
Queremos ver se alpha(beta(x, y)) = alpha(x, beta y) = (x, alpha (beta y)) = (x, (alpha beta) y) .
Calculando cada lado:
Esquerda:
(alpha beta)(x, y) = (x, (alpha beta) y)
Direita:
Ambos os lados são iguais.
Conclusão: Satisfaz a associatividade da multiplicação por escalar.

Passo 12

Axioma 10: Elemento neutro da multiplicação por escalar
Precisamos que 1(x, y) = (x, 1 cdot y) = (x, y) .
Vamos verificar:
Isso está correto.
Conclusão: Satisfaz o elemento neutro da multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto satisfaz as seguintes propriedades de espaço vetorial:
  1. Fechamento sob a adição
  2. Fechamento sob a multiplicação por escalar
  3. Comutatividade da adição
  4. Associatividade da adição
  5. Existência do elemento neutro
  6. Associatividade da multiplicação por escalar
  7. Elemento neutro da multiplicação por escalar
Porém, não satisfaz:
  1. Existência do inverso aditivo
  2. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial
  3. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Assim, não é um espaço vetorial completo sob as operações definidas.

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