Calcule a distância entre o ponto e plano contendo o ponto e paralelo aos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância entre um ponto específico e um plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores, plano e distância ponto-plano.
Passo 2
Primeiro, para achar a equação do plano, precisamos de um vetor normal a ele. Como o plano é paralelo aos vetores e , o vetor normal pode ser encontrado fazendo o produto vetorial desses dois vetores:
Agora vamos usar o vetor normal e o ponto a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 para escrever a equação do plano. A forma geral da equação de um plano é:
1(x - 0) + 2(y - (-1)) + 2(z - 1) = 0
onde x + 2(y + 1) + 2(z - 1) = 0 são as componentes do vetor normal x + 2y + 2 + 2z - 2 = 0 e x + 2y + 2z = 0 é um ponto no plano.
Substituindo:
Então, a equação do plano é .
Passo 5
Agora vamos usar a fórmula da distância entre um ponto e um plano. A fórmula é:
d = |a xp + b yp + c zp + d|raiza^2 + b^2 + c^2
Primeiro, precisamos ajustar a equação do plano para a forma a = 1, b = 2, c = 2, d = 0 . Nossa equação é P(1, -2, 3) , então d = |1 cdot 1 + 2 cdot (-2) + 2 cdot 3 + 0|raiz1^2 + 2^2 + 2^2 .