Calcule a distância entre o ponto e plano contendo o ponto e paralelo aos vetores e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância entre um ponto específico e um plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores, plano e distância ponto-plano.

Passo 2

Primeiro, para achar a equação do plano, precisamos de um vetor normal a ele. Como o plano é paralelo aos vetores e , o vetor normal pode ser encontrado fazendo o produto vetorial desses dois vetores:
Vamos calcular isso agora.

Passo 3

Calculando o produto vetorial:
Expandindo o determinante:
Então, o vetor normal é .

Passo 4

Agora vamos usar o vetor normal e o ponto para escrever a equação do plano. A forma geral da equação de um plano é:
onde são as componentes do vetor normal e é um ponto no plano.
Substituindo:
Então, a equação do plano é .

Passo 5

Agora vamos usar a fórmula da distância entre um ponto e um plano. A fórmula é:
Primeiro, precisamos ajustar a equação do plano para a forma . Nossa equação é , então .
Agora, substituindo os valores:

Resposta

A distância entre o ponto e o plano é 1 unidade.

Exercícios relacionados

Considere as retas
b) Calcule a distância entre as retas e .
Sejam e e subespaços de .
a) Determine .
b) Exiba uma base para .
c) Determine .
d) A soma é direta?
e)
Verifique se os conjuntos a seguir são subespaços:
e .
Calcule a distância entre os planos