Calcule a distância entre o ponto P(1,-2,3) e plano contendo o ponto A(0,-1,1) e paralelo aos vetores u=(0,1,-1) e v=(-2,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância entre um ponto específico e um plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores, plano e distância ponto-plano.

Passo 2

Primeiro, para achar a equação do plano, precisamos de um vetor normal a ele. Como o plano é paralelo aos vetores n = u times v e , o vetor normal pode ser encontrado fazendo o produto vetorial desses dois vetores:
Vamos calcular isso agora.

Passo 3

Calculando o produto vetorial:
n = i & j & k 0 & 1 & -1 -2 & 0 & 1
Expandindo o determinante:
n = i(1 cdot 1 - (-1) cdot 0) - j(0 cdot 1 - (-1) cdot (-2)) + k(0 cdot 0 - 1 cdot (-2))
n = i(1) - j(0 - 2) + k(0 + 2)
n = (1, 2, 2)
Então, o vetor normal é .

Passo 4

Agora vamos usar o vetor normal e o ponto a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 para escrever a equação do plano. A forma geral da equação de um plano é:
1(x - 0) + 2(y - (-1)) + 2(z - 1) = 0
onde x + 2(y + 1) + 2(z - 1) = 0 são as componentes do vetor normal x + 2y + 2 + 2z - 2 = 0 e x + 2y + 2z = 0 é um ponto no plano.
Substituindo:
Então, a equação do plano é .

Passo 5

Agora vamos usar a fórmula da distância entre um ponto e um plano. A fórmula é:
d = |a xp + b yp + c zp + d|raiza^2 + b^2 + c^2
Primeiro, precisamos ajustar a equação do plano para a forma a = 1, b = 2, c = 2, d = 0 . Nossa equação é P(1, -2, 3) , então d = |1 cdot 1 + 2 cdot (-2) + 2 cdot 3 + 0|raiz1^2 + 2^2 + 2^2 .
Agora, substituindo os valores:
d = |1 - 4 + 6|raiz1 + 4 + 4
d = |3|raiz9
d = 33 = 1

Resposta

A distância entre o ponto e o plano é 1 unidade.

Exercícios relacionados