Verifique se os conjuntos a seguir são subespaços:
S=(x, y) in R^2 mid x-3 z=0 e y+4 z=0 subset R^2.

Passo 1

Vamos analisar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, precisamos entender o que define um subespaço vetorial e verificar se atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, todo subespaço vetorial deve conter o vetor zero. Vamos verificar se o vetor x - 3z = 0 Rightarrow 0 - 3 cdot 0 = 0 (Verdadeiro) está em y + 4z = 0 Rightarrow 0 + 4 cdot 0 = 0 (Verdadeiro) :
Como ambas as equações são verdadeiras, o vetor zero está em .

Passo 3

Segundo, um subespaço deve ser fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores qualquer em x1 = 3z1 e y1 = -4z1 , a soma deles também deve estar em x2 = 3z2 e y2 = -4z2 .
Sejam x1 + x2 = 3z1 + 3z2 = 3(z1 + z2) e y1 + y2 = -4z1 + (-4z2) = -4(z1 + z2) em , então:
A soma resulta em:
Portanto, satisfaz as condições e , o que significa que a soma está em .

Passo 4

Terceiro, o subespaço deve ser fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer vetor em x = 3z e y = -4z por um escalar c cdot x = c cdot 3z = 3(cz) , o resultado também deve estar em c cdot y = c cdot (-4z) = -4(cz) .
Para c cdot z = cz em :
Multiplicando por :
Assim, o vetor também satisfaz e , estando em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço de .

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