Verifique se os conjuntos a seguir são subespaços:
e
.
Passo 1
Vamos analisar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, precisamos entender o que define um subespaço vetorial e verificar se
atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, todo subespaço vetorial deve conter o vetor zero. Vamos verificar se o vetor
está em
:
Como ambas as equações são verdadeiras, o vetor zero está em
.
Passo 3
Segundo, um subespaço deve ser fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores qualquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Sejam
e
em
, então:
A soma
resulta em:
Portanto,
satisfaz as condições
e
, o que significa que a soma está em
.
Passo 4
Terceiro, o subespaço deve ser fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer vetor em
por um escalar
, o resultado também deve estar em
.
Para
em
:
Multiplicando por
:
Assim, o vetor
também satisfaz
e
, estando em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço de
.