Verifique se os conjuntos a seguir são subespaços:
.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto , que está dentro de . Nosso objetivo é verificar se é um subespaço de . Para isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço. Vamos precisar verificar três coisas:
  1. Se o vetor zero está em .
  2. Se é fechado para adição (ou seja, se somar dois vetores de continua em ).
  3. Se é fechado para multiplicação por escalar (ou seja, se multiplicar um vetor de por um número real continua em ).

Passo 2

Verificando o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele pertence a . Para isso, precisamos encontrar um valor de que, ao ser substituído nas componentes de , resulte em .
Se , então:
Portanto, o vetor zero está em .

Passo 3

Verificando a adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer de . Seja e , onde e são números reais. Agora, vamos somar esses vetores:
Observamos que o resultado da soma é , que pertence a , pois pode ser representado como com . Assim, é fechado para adição.

Passo 4

Verificando a multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer de , que é , e multiplicá-lo por um número real . Isso resulta em:
onde . Esse novo vetor também pertence a , já que pode ser escrito na forma . Portanto, é fechado para multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, é um subespaço de .

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