Verifique se os conjuntos a seguir são subespaços:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
, que está dentro de
. Nosso objetivo é verificar se
é um subespaço de
. Para isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço. Vamos precisar verificar três coisas:
- Se o vetor zero está em
. - Se
é fechado para adição (ou seja, se somar dois vetores de continua em ). - Se
é fechado para multiplicação por escalar (ou seja, se multiplicar um vetor de por um número real continua em ).
Passo 2
Verificando o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele pertence a
. Para isso, precisamos encontrar um valor de
que, ao ser substituído nas componentes de
, resulte em
.
Se
, então:
Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 3
Verificando a adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer de
. Seja
e
, onde
e
são números reais. Agora, vamos somar esses vetores:
Observamos que o resultado da soma é
, que pertence a
, pois pode ser representado como
com
. Assim,
é fechado para adição.
Passo 4
Verificando a multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer de
, que é
, e multiplicá-lo por um número real
. Isso resulta em:
onde
. Esse novo vetor também pertence a
, já que pode ser escrito na forma
. Portanto,
é fechado para multiplicação por escalar.
Resposta
Sim,
é um subespaço de
.
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