Verifique se os conjuntos a seguir são subespaços:
W=(5 a, 2 a, a) mid a in R subset R^3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto W = (5a, 2a, a) mid a in R, que está dentro de R^3. Nosso objetivo é verificar se W é um subespaço de R^3. Para isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço. Vamos precisar verificar três coisas:
  1. Se o vetor zero está em W.
  2. Se W é fechado para adição (ou seja, se somar dois vetores de W continua em W).
  3. Se W é fechado para multiplicação por escalar (ou seja, se multiplicar um vetor de W por um número real continua em W).

Passo 2

Verificando o vetor zero:
O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Vamos ver se ele pertence a W. Para isso, precisamos encontrar um valor de a que, ao ser substituído nas componentes de W, resulte em (0, 0, 0).
Se a = 0, então:
(5 cdot 0, 2 cdot 0, 0) = (0, 0, 0)
Portanto, o vetor zero está em W.

Passo 3

Verificando a adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer de W. Seja (5a, 2a, a) e (5b, 2b, b), onde a e b são números reais. Agora, vamos somar esses vetores:
(5a, 2a, a) + (5b, 2b, b) = (5a + 5b, 2a + 2b, a + b) = (5(a + b), 2(a + b), a + b)
Observamos que o resultado da soma é (5(a + b), 2(a + b), a + b), que pertence a W, pois pode ser representado como (5c, 2c, c) com c = a + b. Assim, W é fechado para adição.

Passo 4

Verificando a multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer de W, que é (5a, 2a, a), e multiplicá-lo por um número real k. Isso resulta em:
k cdot (5a, 2a, a) = (5ka, 2ka, ka) = (5c, 2c, c)
onde c = ka. Esse novo vetor também pertence a W, já que pode ser escrito na forma (5c, 2c, c). Portanto, W é fechado para multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, W é um subespaço de R^3.

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