Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados
as assíntotas , e um ponto da hipérbole .

Passo 1

Oi! Vamos resolver juntos esse exercício sobre hipérbole. A questão pede para encontrar a equação reduzida da hipérbole que tem as assíntotas e passa pelo ponto . Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica sobre hipérboles e suas assíntotas.

Passo 2

Primeiro, lembremos que as assíntotas de uma hipérbole nos indicam as retas que a hipérbole se aproxima quando ou tendem ao infinito. Para hipérboles centradas na origem e com assíntotas , a equação geral pode ser escrita de duas formas:
  1. Hipérbole horizontal:
    As assíntotas são .
  2. Hipérbole vertical:
    As assíntotas são .
Nesse caso, como as assíntotas são , temos ou , dependendo do tipo da hipérbole.

Passo 3

Vamos determinar qual dos dois tipos de hipérbole estamos lidando. Como as assíntotas têm coeficiente , podemos considerar que . Assim, para simplificar, vamos usar a forma da hipérbole vertical:
Podemos simplificar ainda mais, já que :

Passo 4

Agora, vamos usar o ponto dado que pertence à hipérbole para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:
Simplificando os cálculos:

Passo 5

Resolvendo para :
Portanto, substituindo de volta na equação da hipérbole:

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:

Exercícios relacionados

Determine uma equação e esboce o gráfico da hipérbole que satisfaz as condições dadas.
vértices e e excentricidade 2 ;
Considere a hipérbole de equação
Determine
a) As coordenadas de seus vértices e .
b) As coordenadas de seus focos e .
c) As equações de suas assíntotas e .
Calcule a distância do ponto ao plano tal que e . Determine o ponto simétrico a em relação ao plano .
Calcule a distância entre os planos
е