Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados
as assíntotas y= pm x, e um ponto da hipérbole (5,9).

Passo 1

Oi! Vamos resolver juntos esse exercício sobre hipérbole. A questão pede para encontrar a equação reduzida da hipérbole que tem as assíntotas e passa pelo ponto . Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica sobre hipérboles e suas assíntotas.

Passo 2

Primeiro, lembremos que as assíntotas de uma hipérbole nos indicam as retas que a hipérbole se aproxima quando x^2a^2 - y^2b^2 = 1 ou y^2a^2 - x^2b^2 = 1 tendem ao infinito. Para hipérboles centradas na origem e com assíntotas , a equação geral pode ser escrita de duas formas:
  1. Hipérbole horizontal:
    As assíntotas são .
  2. Hipérbole vertical:
    As assíntotas são .
Nesse caso, como as assíntotas são , temos ou , dependendo do tipo da hipérbole.

Passo 3

Vamos determinar qual dos dois tipos de hipérbole estamos lidando. Como as assíntotas têm coeficiente y^2a^2 - x^2a^2 = 1 , podemos considerar que y^2 - x^2a^2 = 1 . Assim, para simplificar, vamos usar a forma da hipérbole vertical:
Podemos simplificar ainda mais, já que :

Passo 4

Agora, vamos usar o ponto dado 9^2a^2 - 5^2a^2 = 1 que pertence à hipérbole para encontrar o valor de 81a^2 - 25a^2 = 1 56a^2 = 1 . Substituindo e na equação:
Simplificando os cálculos:

Passo 5

Resolvendo para a^2 = 56 :
y^256 - x^256 = 1
Portanto, substituindo de volta na equação da hipérbole:

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
y^256 - x^256 = 1

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