Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados
as assíntotas
, e um ponto da hipérbole
.
as assíntotas
Passo 1
Oi! Vamos resolver juntos esse exercício sobre hipérbole. A questão pede para encontrar a equação reduzida da hipérbole que tem as assíntotas
e passa pelo ponto
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica sobre hipérboles e suas assíntotas.
Passo 2
Primeiro, lembremos que as assíntotas de uma hipérbole nos indicam as retas que a hipérbole se aproxima quando
ou
tendem ao infinito. Para hipérboles centradas na origem e com assíntotas
, a equação geral pode ser escrita de duas formas:
-
Hipérbole horizontal:As assíntotas são
. -
Hipérbole vertical:As assíntotas são
.
Nesse caso, como as assíntotas são
, temos
ou
, dependendo do tipo da hipérbole.
Passo 3
Vamos determinar qual dos dois tipos de hipérbole estamos lidando. Como as assíntotas têm coeficiente
, podemos considerar que
. Assim, para simplificar, vamos usar a forma da hipérbole vertical:
Podemos simplificar ainda mais, já que
:
Passo 4
Agora, vamos usar o ponto dado
que pertence à hipérbole para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Simplificando os cálculos:
Passo 5
Resolvendo para
:
Portanto, substituindo de volta na equação da hipérbole:
Resposta
A equação reduzida da hipérbole é:
Exercícios relacionados
Determine uma equação e esboce o gráfico da hipérbole que satisfaz as condições dadas.
vértices
e
e excentricidade 2 ;
Considere a hipérbole de equação
Determine
a) As coordenadas de seus vértices e
.
b) As coordenadas de seus focos e
.
c) As equações de suas assíntotas e
.
a) As coordenadas de seus vértices
b) As coordenadas de seus focos
c) As equações de suas assíntotas
Calcule a distância do ponto
ao plano
tal que
e
. Determine o ponto
simétrico a
em relação ao plano
.
Calcule a distância entre os planos