Calcule a distancia entre os planos: pi1: x+y+z=4 e pi2: 2 x+2 y+2 z-5=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a distância entre dois planos:
pi1: x + y + z = 4
e
pi2: 2x + 2y + 2z - 5 = 0
A gente vai usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre a distância entre planos paralelos. Para isso, precisamos saber se os planos são realmente paralelos e depois aplicar a fórmula certa para encontrar essa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os planos são paralelos. Dois planos são paralelos se seus vetores normais são múltiplos um do outro. O vetor normal de um plano é formado pelos coeficientes de , e .
Para , o vetor normal é .
Para , o vetor normal é .
Vemos que , ou seja, são múltiplos um do outro. Portanto, os planos são paralelos.

Passo 3

Agora, vamos colocar as equações dos planos na forma geral x + y + z - 4 = 0:
Para 2x + 2y + 2z - 5 = 0:

Aqui, , , e .
Para :

Aqui, , , e .

Passo 4

Vamos usar a fórmula para calcular a distância D = |d2 - d1|raiza^2 + b^2 + c^2 entre dois planos paralelos:
D = |-5 - (-4)|raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = |-5 + 4|raiz1 + 1 + 1 = |-1|raiz3 = 1raiz3
Substituindo os valores que temos:
D = raiz33
Para deixar mais elegante, podemos racionalizar o denominador:

Resposta

A distância entre os planos e é unidades.

Exercícios relacionados