Considere o subespaço U de M2(R) definido por U=[lla & b c & d] rvert, a-2 c+d=0. Determine uma base e a dimensão de U.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um conjunto de matrizes 2x2 com números reais, e esse conjunto é definido pela condição . Nosso objetivo é descobrir uma base para esse conjunto e descobrir qual é a sua dimensão. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços, bases e dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que significa essa condição a = 2c - d . Isso nos dá uma relação entre os elementos da matriz:
Ou seja, o elemento não é independente; ele depende dos valores de e .

Passo 3

Agora, vamos representar uma matriz genérica em a & b c & d :
2c - d & b c & d
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 4

Perceba que podemos separar essa matriz em termos de c 2 & 0 1 & 0 + d -1 & 0 0 & 1 + b 0 & 1 0 & 0 , e :
Isso mostra que qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear dessas três matrizes.

Passo 5

Então, as matrizes:
2 & 0 1 & 0 , -1 & 0 0 & 1 , 0 & 1 0 & 0
são candidatas a formar uma base para . Para isso, precisamos verificar se elas são linearmente independentes.

Passo 6

Vamos supor que exista uma combinação linear dessas matrizes igual a uma matriz nula:
k1 2 & 0 1 & 0 + k2 -1 & 0 0 & 1 + k3 0 & 1 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
2k1 - k2 = 0 k3 = 0 k1 = 0 k2 = 0
A única solução é , o que significa que as matrizes são linearmente independentes.

Passo 7

Como temos três matrizes linearmente independentes que geram , podemos concluir que elas formam uma base para .

Passo 8

A dimensão de um subespaço é o número de vetores em sua base. Como nossa base tem três matrizes, a dimensão de é 3.

Resposta

Uma base para 2 & 0 1 & 0 , -1 & 0 0 & 1 , 0 & 1 0 & 0 é composta pelas matrizes
e a dimensão de é 3.

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