Considere o subespaço de definido por . Determine uma base e a dimensão de U.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um conjunto de matrizes 2x2 com números reais, e esse conjunto é definido pela condição . Nosso objetivo é descobrir uma base para esse conjunto e descobrir qual é a sua dimensão. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços, bases e dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que significa essa condição a = 2c - d . Isso nos dá uma relação entre os elementos da matriz:
Ou seja, o elemento não é independente; ele depende dos valores de e .
Passo 3
Agora, vamos representar uma matriz genérica em a & b c & d :
2c - d & b c & d
Substituindo pela expressão que encontramos:
Passo 4
Perceba que podemos separar essa matriz em termos de c 2 & 0 1 & 0 + d -1 & 0 0 & 1 + b 0 & 1 0 & 0 , e :
Isso mostra que qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear dessas três matrizes.
Passo 5
Então, as matrizes:
2 & 0 1 & 0 , -1 & 0 0 & 1 , 0 & 1 0 & 0
são candidatas a formar uma base para . Para isso, precisamos verificar se elas são linearmente independentes.
Passo 6
Vamos supor que exista uma combinação linear dessas matrizes igual a uma matriz nula: