Considere o subespaço de definido por . Determine uma base e a dimensão de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um conjunto de matrizes 2x2 com números reais, e esse conjunto é definido pela condição . Nosso objetivo é descobrir uma base para esse conjunto e descobrir qual é a sua dimensão. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços, bases e dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que significa essa condição . Isso nos dá uma relação entre os elementos da matriz:
Ou seja, o elemento não é independente; ele depende dos valores de e .
Passo 3
Agora, vamos representar uma matriz genérica em :
Substituindo pela expressão que encontramos:
Passo 4
Perceba que podemos separar essa matriz em termos de , e :
Isso mostra que qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear dessas três matrizes.
Passo 5
Então, as matrizes:
são candidatas a formar uma base para . Para isso, precisamos verificar se elas são linearmente independentes.
Passo 6
Vamos supor que exista uma combinação linear dessas matrizes igual a uma matriz nula:
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
A única solução é , o que significa que as matrizes são linearmente independentes.
Passo 7
Como temos três matrizes linearmente independentes que geram , podemos concluir que elas formam uma base para .
Passo 8
A dimensão de um subespaço é o número de vetores em sua base. Como nossa base tem três matrizes, a dimensão de é 3.