Considere os polinômios p(t)=3 t^2-7 t-2, f(t)=t^2-2 t+5, g(t)=2 t^2-3 t e h(t)=t+3. Determine, caso existam, a, b, c in R de modo que p(t)=a cdot f(t)+b cdot g(t)+c cdot h(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de polinômios aqui. A ideia é encontrar números reais , e tais que o polinômio possa ser escrito como uma combinação linear dos polinômios , e . Para resolver isso, vamos usar a teoria de combinação linear de polinômios, que basicamente nos permite expressar um polinômio como soma de outros polinômios multiplicados por constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação 3t^2 - 7t - 2 = a(t^2 - 2t + 5) + b(2t^2 - 3t) + c(t + 3) de forma completa substituindo os polinômios:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os coeficientes 3t^2 - 7t - 2 = a t^2 - 2a t + 5a + 2b t^2 - 3b t + c t + 3c , e nos respectivos polinômios:

Passo 4

Em seguida, vamos agrupar os termos semelhantes, ou seja, os termos com 3t^2 - 7t - 2 = (a + 2b) t^2 + (-2a - 3b + c) t + (5a + 3c) , e os termos constantes:

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de a + 2b = 3 -2a - 3b + c = -7 5a + 3c = -2 , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação, podemos isolar a = 3 - 2b :

Passo 7

Agora, substituímos -2(3 - 2b) - 3b + c = -7 -6 + 4b - 3b + c = -7 b + c = -1 (Equação 4) na segunda e terceira equações:
Na segunda equação:
5(3 - 2b) + 3c = -2 15 - 10b + 3c = -2 -10b + 3c = -17 (Equação 5) çã
Na terceira equação:
çã

Passo 8

Agora, temos um sistema com duas equações (4 e 5):
b + c = -1 -10b + 3c = -17
Vamos isolar c = -1 - b na Equação 4:

Passo 9

Substituímos -10b + 3(-1 - b) = -17 -10b -3 -3b = -17 -13b -3 = -17 -13b = -14 b = 1413 na Equação 5:

Passo 10

Agora, encontramos c = -1 - 1413 = -1313 - 1413 = -2713 . Vamos achar usando :

Passo 11

Por fim, encontramos a = 3 - 2(1413) = 3913 - 2813 = 1113 usando :

Resposta

Os valores são , e .

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