Considere os polinômios e . Determine, caso existam, de modo que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de polinômios aqui. A ideia é encontrar números reais , e tais que o polinômio possa ser escrito como uma combinação linear dos polinômios , e . Para resolver isso, vamos usar a teoria de combinação linear de polinômios, que basicamente nos permite expressar um polinômio como soma de outros polinômios multiplicados por constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de forma completa substituindo os polinômios:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os coeficientes , e nos respectivos polinômios:
Passo 4
Em seguida, vamos agrupar os termos semelhantes, ou seja, os termos com , e os termos constantes:
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação, podemos isolar a = 3 - 2b :
Passo 7
Agora, substituímos -2(3 - 2b) - 3b + c = -7 -6 + 4b - 3b + c = -7 b + c = -1 (Equação 4) na segunda e terceira equações: