Calcule a distância do ponto ao plano determinado pelos pontos e nos seguintes casos:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a distância de um ponto até um plano que é definido por três pontos: , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância de um ponto a um plano. Vamos precisar conhecer as coordenadas dos pontos , , e para seguir em frente.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a equação do plano que passa pelos pontos , e . Para isso, vamos encontrar dois vetores que estão no plano, por exemplo, e , onde:

Passo 3

Depois, vamos encontrar o vetor normal ao plano calculando o produto vetorial desses dois vetores:
Esse vetor normal é perpendicular ao plano e vai nos ajudar a definir a equação do plano.

Passo 4

Com o vetor normal e sabendo que o ponto está no plano, a equação do plano pode ser escrita como:

Passo 5

Agora que temos a equação do plano, vamos usar a fórmula da distância de um ponto até o plano :
Onde é a constante da equação do plano .

Passo 6

Substitua as coordenadas do ponto e os coeficientes , , , e da equação do plano na fórmula acima para calcular a distância .

Resposta

A distância do ponto ao plano é igual a unidades, conforme calculado pela fórmula apresentada.

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Dados os vetores e , calcular:
Determine a solução para a equação:
Mostre que os pontos e são coplanares, mas não colineares.
Dades os poritos e , determina x tál que syam ortogonais, sendo .