Calcule a distância do ponto
ao plano
determinado pelos pontos
e
nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a distância de um ponto
até um plano
que é definido por três pontos:
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância de um ponto a um plano. Vamos precisar conhecer as coordenadas dos pontos
,
,
e
para seguir em frente.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar a equação do plano
que passa pelos pontos
,
e
. Para isso, vamos encontrar dois vetores que estão no plano, por exemplo,
e
, onde:
Passo 3
Depois, vamos encontrar o vetor normal
ao plano
calculando o produto vetorial desses dois vetores:
Esse vetor normal é perpendicular ao plano e vai nos ajudar a definir a equação do plano.
Passo 4
Com o vetor normal
e sabendo que o ponto
está no plano, a equação do plano
pode ser escrita como:
Passo 5
Agora que temos a equação do plano, vamos usar a fórmula da distância de um ponto
até o plano
:
Onde
é a constante da equação do plano
.
Passo 6
Substitua as coordenadas do ponto
e os coeficientes
,
,
, e
da equação do plano na fórmula acima para calcular a distância
.
Resposta
A distância do ponto
ao plano
é igual a
unidades, conforme calculado pela fórmula apresentada.