Calcule a distância do ponto P ao plano alpha determinado pelos pontos A, B e C nos seguintes casos:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a distância de um ponto até um plano que é definido por três pontos: , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância de um ponto a um plano. Vamos precisar conhecer as coordenadas dos pontos , , e para seguir em frente.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a equação do plano AB = B - A e AC = C - A que passa pelos pontos , e . Para isso, vamos encontrar dois vetores que estão no plano, por exemplo, e , onde:

Passo 3

Depois, vamos encontrar o vetor normal n = AB times AC ao plano calculando o produto vetorial desses dois vetores:
Esse vetor normal é perpendicular ao plano e vai nos ajudar a definir a equação do plano.

Passo 4

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e sabendo que o ponto está no plano, a equação do plano pode ser escrita como:

Passo 5

Agora que temos a equação do plano, vamos usar a fórmula da distância de um ponto d = |a x1 + b y1 + c z1 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 até o plano :
Onde é a constante da equação do plano .

Passo 6

Substitua as coordenadas do ponto e os coeficientes , , , e da equação do plano na fórmula acima para calcular a distância .

Resposta

A distância do ponto ao plano é igual a unidades, conforme calculado pela fórmula apresentada.

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