Calcule a distância do ponto ao plano determinado pelos pontos e nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a distância de um ponto até um plano que é definido por três pontos: , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância de um ponto a um plano. Vamos precisar conhecer as coordenadas dos pontos , , e para seguir em frente.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar a equação do plano que passa pelos pontos , e . Para isso, vamos encontrar dois vetores que estão no plano, por exemplo, e , onde:
Passo 3
Depois, vamos encontrar o vetor normal ao plano calculando o produto vetorial desses dois vetores:
Esse vetor normal é perpendicular ao plano e vai nos ajudar a definir a equação do plano.
Passo 4
Com o vetor normal e sabendo que o ponto está no plano, a equação do plano pode ser escrita como:
Passo 5
Agora que temos a equação do plano, vamos usar a fórmula da distância de um ponto até o plano :
Onde é a constante da equação do plano .
Passo 6
Substitua as coordenadas do ponto e os coeficientes , , , e da equação do plano na fórmula acima para calcular a distância .
Resposta
A distância do ponto ao plano é igual a unidades, conforme calculado pela fórmula apresentada.