Mostre que os pontos A(1,0,1), B(0,1,1), C(-1,4,1) e D(1,2,1) são coplanares, mas não colineares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra mostrar que os pontos , , e estão todos no mesmo plano (isso é o que chamamos de coplanares), mas que eles não estão todos em uma única linha (ou seja, não são colineares). Para resolver isso, a gente vai precisar usar alguns conceitos de geometria analítica, como vetores e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os quatro pontos são colineares. Para isso, a gente escolhe um ponto como referência e cria vetores com os outros pontos. Vamos usar como referência.
Calculamos os vetores:
Agora, pra serem colineares, todos esses vetores precisam ser múltiplos uns dos outros.

Passo 3

Olha só, e . Se dividirmos as componentes correspondentes, temos:
  • é indefinido
Como os quocientes não são iguais, e não são múltiplos entre si. Isso já mostra que os pontos não são colineares.

Passo 4

Agora, vamos ver se eles são coplanares. Para isso, podemos calcular o determinante formado pelos vetores -1 & 1 & 0 -2 & 4 & 0 0 & 2 & 0 , -1 times (4 times 0 - 0 times 2) - 1 times (-2 times 0 - 0 times 0) + 0 times (-2 times 2 - 4 times 0) = 0 e . Se o determinante for zero, os vetores estão no mesmo plano.
Montamos a matriz:
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, os vetores são coplanares, ou seja, os quatro pontos estão no mesmo plano.

Resposta

Os pontos , , e são coplanares, mas não colineares.

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