Mostre que os pontos e são coplanares, mas não colineares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra mostrar que os pontos , , e estão todos no mesmo plano (isso é o que chamamos de coplanares), mas que eles não estão todos em uma única linha (ou seja, não são colineares). Para resolver isso, a gente vai precisar usar alguns conceitos de geometria analítica, como vetores e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os quatro pontos são colineares. Para isso, a gente escolhe um ponto como referência e cria vetores com os outros pontos. Vamos usar como referência.
Calculamos os vetores:
Agora, pra serem colineares, todos esses vetores precisam ser múltiplos uns dos outros.
Passo 3
Olha só, e . Se dividirmos as componentes correspondentes, temos:
é indefinido
Como os quocientes não são iguais, e não são múltiplos entre si. Isso já mostra que os pontos não são colineares.
Passo 4
Agora, vamos ver se eles são coplanares. Para isso, podemos calcular o determinante formado pelos vetores , e . Se o determinante for zero, os vetores estão no mesmo plano.
Montamos a matriz:
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, os vetores são coplanares, ou seja, os quatro pontos estão no mesmo plano.
Resposta
Os pontos , , e são coplanares, mas não colineares.