Determine a solução para a equação:
d yd x-3 y=e^-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
dydx - 3y = e^-x
Isso pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar um método chamado fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Ela está no formato padrão:
dydx + P(x)y = Q(x)
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante. Esse fator é uma função que vamos multiplicar em toda a equação para facilitar a resolução. A fórmula para o fator integrante mu(x) = e^integral P(x)dx é:
mu(x) = e^integral -3 dx = e^-3x
Substituindo :

Passo 4

Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação original por e^-3x cdot dydx - 3e^-3xy = e^-3x cdot e^-x :
ddx( y cdot e^-3x ) = e^-4x
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma o lado esquerdo da equação em uma derivada completa.

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar integral ddx( y cdot e^-3x ) dx = integral e^-4x dx :
y cdot e^-3x = -14 e^-4x + C
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, resolvemos para y = e^3x ( -14 e^-4x + C ) isolando na equação:
y = -14 e^-x + C e^3x
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação é:
y = -14 e^-x + C e^3x
Onde é uma constante arbitrária.

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