Determine a solução para a equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Isso pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar um método chamado fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Ela está no formato padrão:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante. Esse fator é uma função que vamos multiplicar em toda a equação para facilitar a resolução. A fórmula para o fator integrante
é:
Substituindo
:
Passo 4
Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação original por
:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma o lado esquerdo da equação em uma derivada completa.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, resolvemos para
isolando na equação:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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e
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e
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