Calcule a distância do ponto P ao plano alpha determinado pelos pontos A, B e C nos seguintes casos:
(a) P(0,0,-6), A(0,0,-3), B(0,-3,0) e C(6,0,0);

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular a distância entre um ponto e um plano que é determinado pelos pontos , e . Para resolver isso, vamos precisar usar a geometria analítica, especificamente a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Para encontrar a distância entre o ponto e o plano , precisamos primeiro determinar a equação desse plano. Sabemos que três pontos não colineares no espaço definem um plano. Então, vamos usar os pontos , e para achar a equação de .

Passo 3

Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Podemos obter esse vetor encontrando o produto vetorial de dois vetores que estão no plano. Vamos criar os vetores e .

Passo 4

Calculando AB = B - A = (0-0, -3-0, 0-(-3)) = (0, -3, 3) e AC = C - A = (6-0, 0-0, 0-(-3)) = (6, 0, 3) :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial n = AB times AC = i & j & k 0 & -3 & 3 6 & 0 & 3 = i(-3 cdot 3 - 3 cdot 0) - j(0 cdot 3 - 3 cdot 6) + k(0 cdot 0 - (-3) cdot 6) para encontrar o vetor normal n = i(-9) - j(-18) + k(18) = (-9, 18, 18) ao plano:

Passo 6

Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 9:
n = (-1, 2, 2)
Agora, temos o vetor normal para o plano .

Passo 7

Com o vetor normal e um ponto no plano (por exemplo, -1(x - 0) + 2(y - 0) + 2(z - (-3)) = 0 ), podemos escrever a equação do plano na forma:
- x + 2y + 2(z + 3) = 0 Rightarrow -x + 2y + 2z + 6 = 0
Simplificando:
x - 2y - 2z - 6 = 0
Ou, reorganizando:

Passo 8

Agora que temos a equação do plano x - 2y - 2z - 6 = 0 :
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano :

Passo 9

Substituindo os valores do ponto A = 1, B = -2, C = -2, D = -6 e da equação do plano d = |1 cdot 0 + (-2) cdot 0 + (-2) cdot (-6) + (-6)|raiz1^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = |0 + 0 + 12 - 6|raiz1 + 4 + 4 = 6raiz9 = 63 = 2 na fórmula:

Resposta

A distância do ponto ao plano é unidades.

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