Calcule a distância do ponto ao plano determinado pelos pontos e nos seguintes casos:
(a) e ;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular a distância entre um ponto e um plano que é determinado pelos pontos , e . Para resolver isso, vamos precisar usar a geometria analítica, especificamente a fórmula da distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Para encontrar a distância entre o ponto e o plano , precisamos primeiro determinar a equação desse plano. Sabemos que três pontos não colineares no espaço definem um plano. Então, vamos usar os pontos , e para achar a equação de .
Passo 3
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Podemos obter esse vetor encontrando o produto vetorial de dois vetores que estão no plano. Vamos criar os vetores e .
Passo 4
Calculando e :
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto vetorial para encontrar o vetor normal ao plano:
Passo 6
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 9:
n = (-1, 2, 2)
Agora, temos o vetor normal para o plano .
Passo 7
Com o vetor normal e um ponto no plano (por exemplo, -1(x - 0) + 2(y - 0) + 2(z - (-3)) = 0 ), podemos escrever a equação do plano na forma:
Agora que temos a equação do plano x - 2y - 2z - 6 = 0 :
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano :
Passo 9
Substituindo os valores do ponto A = 1, B = -2, C = -2, D = -6 e da equação do plano d = |1 cdot 0 + (-2) cdot 0 + (-2) cdot (-6) + (-6)|raiz1^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = |0 + 0 + 12 - 6|raiz1 + 4 + 4 = 6raiz9 = 63 = 2 na fórmula: