Mostre que u1, u2 ou u1, u2, u3 é uma base ortogonal para R^2 ou R^3, respectivamente. Depois expresse x como uma combinação linear dos u.
b) u1=[l1 0 1], u2=[r-1 4 1], u3=[r2 1 -2], x=[r8 -4 -3]

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos. A gente precisa mostrar que os vetores u1, u2 e u3 formam uma base ortogonal para R^3 e, depois, expressar o vetor x como uma combinação linear desses vetores. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base ortogonal e como verificar a ortogonalidade entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortogonal. Uma base ortogonal é um conjunto de vetores que são mutuamente perpendiculares (ou seja, o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero) e que geram todo o espaço vetorial considerado. No nosso caso, estamos trabalhando em R^3, então precisamos de três vetores que sejam todos perpendiculares entre si e que, juntos, consigam representar qualquer vetor em R^3.

Passo 3

Para verificar se os vetores u1, u2, u3 são ortogonais, vamos calcular o produto interno (ou produto escalar) entre cada par de vetores. Se todos os produtos internos entre vetores diferentes forem iguais a zero, então os vetores são ortogonais.

Passo 4

Vamos calcular os produtos internos:
  1. u1 cdot u2 = (1)(-1) + (0)(4) + (1)(1) = -1 + 0 + 1 = 0
  2. u1 cdot u3 = (1)(2) + (0)(1) + (1)(-2) = 2 + 0 - 2 = 0
  3. u2 cdot u3 = (-1)(2) + (4)(1) + (1)(-2) = -2 + 4 - 2 = 0

Passo 5

Todos os produtos internos entre os vetores são iguais a zero, o que significa que os vetores u1, u2 e u3 são mutuamente ortogonais. Além disso, temos três vetores em R^3, o que é suficiente para formar uma base se forem linearmente independentes.

Passo 6

Como os vetores são mutuamente ortogonais e nenhum deles é o vetor zero, eles são automaticamente linearmente independentes. Portanto, u1, u2, u3 forma uma base ortogonal para R^3.

Passo 7

Agora, vamos expressar o vetor x = 8 -4 -3 como uma combinação linear dos vetores da base ortogonal. Ou seja, queremos encontrar escalares c1, c2 e c3 tais que:
x = c1u1 + c2u2 + c3u3

Passo 8

Na base ortogonal, os coeficientes ci podem ser facilmente encontrados usando o produto interno:
ci = x cdot uiui cdot ui
Vamos calcular cada um deles.

Passo 9

Primeiro, calculamos ui cdot ui para cada i:
  1. u1 cdot u1 = 1^2 + 0^2 + 1^2 = 1 + 0 + 1 = 2
  2. u2 cdot u2 = (-1)^2 + 4^2 + 1^2 = 1 + 16 + 1 = 18
  3. u3 cdot u3 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9

Passo 10

Agora, calculamos x cdot ui para cada i:
  1. x cdot u1 = (8)(1) + (-4)(0) + (-3)(1) = 8 + 0 - 3 = 5
  2. x cdot u2 = (8)(-1) + (-4)(4) + (-3)(1) = -8 - 16 - 3 = -27
  3. x cdot u3 = (8)(2) + (-4)(1) + (-3)(-2) = 16 - 4 + 6 = 18

Passo 11

Agora, calculamos os coeficientes ci:
  1. c1 = 52 = 2,5
  2. c2 = -2718 = -1,5
  3. c3 = 189 = 2

Resposta

Portanto, o vetor x pode ser expresso como:
x = 2,5,u1 - 1,5,u2 + 2,u3

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