Mostre que ou é uma base ortogonal para ou , respectivamente. Depois expresse como uma combinação linear dos .
b)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos. A gente precisa mostrar que os vetores u1, u2 e u3 formam uma base ortogonal para R^3 e, depois, expressar o vetor x como uma combinação linear desses vetores. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base ortogonal e como verificar a ortogonalidade entre os vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortogonal. Uma base ortogonal é um conjunto de vetores que são mutuamente perpendiculares (ou seja, o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero) e que geram todo o espaço vetorial considerado. No nosso caso, estamos trabalhando em R^3, então precisamos de três vetores que sejam todos perpendiculares entre si e que, juntos, consigam representar qualquer vetor em R^3.
Passo 3
Para verificar se os vetores u1, u2, u3 são ortogonais, vamos calcular o produto interno (ou produto escalar) entre cada par de vetores. Se todos os produtos internos entre vetores diferentes forem iguais a zero, então os vetores são ortogonais.
Todos os produtos internos entre os vetores são iguais a zero, o que significa que os vetores u1, u2 e u3 são mutuamente ortogonais. Além disso, temos três vetores em R^3, o que é suficiente para formar uma base se forem linearmente independentes.
Passo 6
Como os vetores são mutuamente ortogonais e nenhum deles é o vetor zero, eles são automaticamente linearmente independentes. Portanto, u1, u2, u3 forma uma base ortogonal para R^3.
Passo 7
Agora, vamos expressar o vetor x = 8 -4 -3 como uma combinação linear dos vetores da base ortogonal. Ou seja, queremos encontrar escalares c1, c2 e c3 tais que:
x = c1u1 + c2u2 + c3u3
Passo 8
Na base ortogonal, os coeficientes ci podem ser facilmente encontrados usando o produto interno: