Mostre que
ou
é uma base ortogonal para
ou
, respectivamente. Depois expresse
como uma combinação linear dos
.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que o conjunto
é uma base ortogonal para
e depois expressar o vetor
como uma combinação linear desses vetores. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base ortogonal e como funcionam as combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é realmente uma base ortogonal para
. Uma base ortogonal é um conjunto de vetores que são todos ortogonais entre si (ou seja, perpendiculares) e que além disso, são linearmente independentes.
Passo 3
Para que dois vetores sejam ortogonais, o produto interno entre eles deve ser igual a zero. Vamos calcular o produto interno de
e
:
Como o produto interno é zero, os vetores são ortogonais.
Passo 4
Agora, precisamos garantir que esses vetores sejam linearmente independentes. Em
, se dois vetores são ortogonais e não são o vetor zero, eles são automaticamente linearmente independentes. Como
e
são diferentes do vetor zero, eles formam uma base ortogonal para
.
Passo 5
Com a base ortogonal confirmada, vamos expressar o vetor
como uma combinação linear dos vetores
e
. Ou seja, queremos encontrar escalares
e
tais que:
Passo 6
Como a base é ortogonal, podemos usar a fórmula simplificada para encontrar os coeficientes
e
. A fórmula é:
Passo 7
Vamos calcular
e
:
Passo 8
Agora, vamos calcular
e
:
Resposta
Portanto, o vetor
pode ser expresso como: