Mostre que u1, u2 ou u1, u2, u3 é uma base ortogonal para R^2 ou R^3, respectivamente. Depois expresse x como uma combinação linear dos u.
a) u1=[r2 -3], u2=[l6 4], x=[r9 -7]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que o conjunto u1, u2 é uma base ortogonal para R^2 e depois expressar o vetor x como uma combinação linear desses vetores. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base ortogonal e como funcionam as combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se u1, u2 é realmente uma base ortogonal para R^2. Uma base ortogonal é um conjunto de vetores que são todos ortogonais entre si (ou seja, perpendiculares) e que além disso, são linearmente independentes.

Passo 3

Para que dois vetores sejam ortogonais, o produto interno entre eles deve ser igual a zero. Vamos calcular o produto interno de u1 e u2:
u1 cdot u2 = (2)(6) + (-3)(4) = 12 - 12 = 0
Como o produto interno é zero, os vetores são ortogonais.

Passo 4

Agora, precisamos garantir que esses vetores sejam linearmente independentes. Em R^2, se dois vetores são ortogonais e não são o vetor zero, eles são automaticamente linearmente independentes. Como u1 e u2 são diferentes do vetor zero, eles formam uma base ortogonal para R^2.

Passo 5

Com a base ortogonal confirmada, vamos expressar o vetor x = [r9 -7] como uma combinação linear dos vetores u1 e u2. Ou seja, queremos encontrar escalares a e b tais que:
x = au1 + bu2

Passo 6

Como a base é ortogonal, podemos usar a fórmula simplificada para encontrar os coeficientes a e b. A fórmula é:
a = x cdot u1u1 cdot u1 e b = x cdot u2u2 cdot u2

Passo 7

Vamos calcular x cdot u1 e u1 cdot u1:
x cdot u1 = (9)(2) + (-7)(-3) = 18 + 21 = 39
u1 cdot u1 = (2)^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13
a = 3913 = 3

Passo 8

Agora, vamos calcular x cdot u2 e u2 cdot u2:
x cdot u2 = (9)(6) + (-7)(4) = 54 - 28 = 26
u2 cdot u2 = (6)^2 + (4)^2 = 36 + 16 = 52
b = 2652 = 0.5

Resposta

Portanto, o vetor x pode ser expresso como:
x = 3u1 + 0.5u2

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