Seja uma base de . Seja uma transformação linear tal que . Encontre o vetor T(1,2,-3).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma base específica para e uma transformação linear representada por uma matriz nessa base. Nosso objetivo é encontrar o vetor . Para isso, vamos precisar entender como expressar um vetor na base e como aplicar a transformação linear usando a matriz fornecida.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar o vetor (1,2,-3) = c1(1,0,0) + c2(1,1,0) + c3(1,1,1) na base . Isso significa encontrar uma combinação linear dos vetores da base que resulte em . Vamos chamar os coeficientes dessa combinação de , e , de forma que:
Passo 3
Vamos montar as equações para encontrar c1 + c2 + c3 = 1 (componente x) 0 + c2 + c3 = 2 (componente y) 0 + 0 + c3 = -3 (componente z) , e . Somando os vetores na base multiplicados pelos coeficientes, temos:
Passo 4
Resolvendo a última equação primeiro:
c3 = -3
Agora, substituímos c2 + (-3) = 2 implies c2 = 5 na segunda equação:
c1 + 5 + (-3) = 1 implies c1 = -1
Finalmente, substituímos e na primeira equação:
Passo 5
Agora que temos [1,2,-3]alpha = -1 5 -3 , e , podemos representar o vetor na base como:
Passo 6
A próxima etapa é aplicar a transformação linear [T]alpha^alpha = 3 & 1 & 2 1 & 1 & -3 -1 & 2 & 2 usando a matriz dada [T(v)]alpha = [T]alpha^alpha cdot [v]alpha = 3 & 1 & 2 1 & 1 & -3 -1 & 2 & 2 -1 5 -3 . A matriz é:
Multiplicamos essa matriz pelo vetor de coordenadas que encontramos: