Seja alpha=(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) uma base de R^3. Seja T: R^3 longrightarrow R^3 uma transformação linear tal que [T]alpha^alpha=[rrr3 & 1 & 2 1 & 1 & -3 -1 & 2 & 2]. Encontre o vetor T(1,2,-3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma base específica para e uma transformação linear representada por uma matriz nessa base. Nosso objetivo é encontrar o vetor . Para isso, vamos precisar entender como expressar um vetor na base e como aplicar a transformação linear usando a matriz fornecida.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar o vetor (1,2,-3) = c1(1,0,0) + c2(1,1,0) + c3(1,1,1) na base . Isso significa encontrar uma combinação linear dos vetores da base que resulte em . Vamos chamar os coeficientes dessa combinação de , e , de forma que:

Passo 3

Vamos montar as equações para encontrar c1 + c2 + c3 = 1 (componente x) 0 + c2 + c3 = 2 (componente y) 0 + 0 + c3 = -3 (componente z) , e . Somando os vetores na base multiplicados pelos coeficientes, temos:

Passo 4

Resolvendo a última equação primeiro:
c3 = -3
Agora, substituímos c2 + (-3) = 2 implies c2 = 5 na segunda equação:
c1 + 5 + (-3) = 1 implies c1 = -1
Finalmente, substituímos e na primeira equação:

Passo 5

Agora que temos [1,2,-3]alpha = -1 5 -3 , e , podemos representar o vetor na base como:

Passo 6

A próxima etapa é aplicar a transformação linear [T]alpha^alpha = 3 & 1 & 2 1 & 1 & -3 -1 & 2 & 2 usando a matriz dada [T(v)]alpha = [T]alpha^alpha cdot [v]alpha = 3 & 1 & 2 1 & 1 & -3 -1 & 2 & 2 -1 5 -3 . A matriz é:
Multiplicamos essa matriz pelo vetor de coordenadas que encontramos:

Passo 7

Vamos fazer a multiplicação das matrizes:
Primeira linha: & 3(-1) + 1(5) + 2(-3) = -3 + 5 - 6 = -4 Segunda linha: & 1(-1) + 1(5) + (-3)(-3) = -1 + 5 + 9 = 13 Terceira linha: & -1(-1) + 2(5) + 2(-3) = 1 + 10 - 6 = 5
Portanto,
[T(v)]alpha = -4 13 5

Passo 8

Agora, precisamos converter T(v) = -4(1,0,0) + 13(1,1,0) + 5(1,1,1) de volta para as coordenadas padrão em -4(1,0,0) &= (-4, 0, 0) 13(1,1,0) &= (13, 13, 0) 5(1,1,1) &= (5, 5, 5) . Usamos os vetores da base (-4, 0, 0) + (13, 13, 0) + (5, 5, 5) = (-4 + 13 + 5, 0 + 13 + 5, 0 + 0 + 5) = (14, 18, 5) :
Vamos calcular cada componente:
Somando esses vetores:

Resposta

O vetor é .

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