Sejam W1=(x, y, z, t) in R^4 ; x+y=0 e z-t=0 e W2=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y-z+t=0 subespaços de R^4.
a) Determine W1 cap W2.
b) Exiba uma base para W1 cap W2.
c) Determine W1+W2.
d) A soma W1+W2 é direta?
e) W1+W2=R^4 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado fala sobre dois subespaços e do espaço , cada um definido por algumas equações lineares. Nosso objetivo é, em várias partes, encontrar interseções, bases, somas de subespaços e verificar algumas propriedades dessas somas. Para isso, vamos usar conceitos como solução de sistemas lineares, interseção e soma de subespaços, além de conceito de soma direta.

Passo 2

Item a) Determinar x + y = 0 z - t = 0 x - y - z + t = 0 .
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso representa o conjunto de vetores que pertencem tanto a quanto a . Ou seja, queremos encontrar todos os vetores que satisfazem as equações que definem e também a equação que define .
Para isso, vamos montar um sistema de equações com todas as condições:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de que satisfazem todas as três equações simultaneamente.

Passo 3

Vamos resolver o sistema passo a passo.
Primeiro, da primeira equação:
x + y = 0 Rightarrow y = -x
Da segunda equação:
z - t = 0 Rightarrow t = z
Agora, substituímos x - (-x) - z + z = 0 Rightarrow x + x = 0 Rightarrow 2x = 0 Rightarrow x = 0 e y = -0 Rightarrow y = 0 na terceira equação:
(x, y, z, t) = (0, 0, z, z) = z cdot (0, 0, 1, 1)
Assim, temos . Substituindo esse valor em , obtemos:
E de , sabemos que é igual a . Então, os vetores que pertencem à interseção são da forma:

Passo 4

Item b) Exibir uma base para .
Com base na solução encontrada no item a), vimos que todos os vetores na interseção são múltiplos de . Isso significa que a interseção é gerada por esse único vetor.
Portanto, uma base para é o conjunto contendo o vetor .

Passo 5

Item c) Determinar W1: x + y = 0 z - t = 0 .
A soma dos subespaços W2: x - y - z + t = 0 consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de x + y = 0 z - t = 0 x - y - z + t = 0 e um vetor de .
Para encontrar essa soma, vamos considerar os sistemas que definem e :
Para encontrar , precisamos resolver o sistema composto por todas essas equações.
Vamos organizar o sistema:
Já resolvemos esse sistema anteriormente e encontramos que a solução é e . Portanto, a soma é o conjunto de todos os vetores , que é precisamente .

Passo 6

Item d) A soma é direta?
Uma soma de subespaços é direta se a interseção contém apenas o vetor zero, ou seja, .
No nosso caso, vimos que é formado por todos os vetores da forma . Isso significa que a interseção não é apenas o vetor zero, a menos que .
Portanto, como contém mais vetores além do vetor zero, a soma não é direta.

Passo 7

Item e) ?
Para verificar se a soma é igual a todo o espaço , precisamos verificar se qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de .
No entanto, observamos que consiste apenas dos vetores da forma . Isso significa que apenas vetores onde as duas primeiras coordenadas são zero estão na soma. Claramente, isso não abrange todos os vetores possíveis em , já que existem vetores com as primeiras coordenadas diferentes de zero que não podem ser obtidos por essa soma.
Portanto, não, não é igual a .

Resposta

a)
b) Uma base para é
c)
d) A soma não é direta.
e)

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