Sejam e e subespaços de .
a) Determine .
b) Exiba uma base para .
c) Determine .
d) A soma é direta?
e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado fala sobre dois subespaços e do espaço , cada um definido por algumas equações lineares. Nosso objetivo é, em várias partes, encontrar interseções, bases, somas de subespaços e verificar algumas propriedades dessas somas. Para isso, vamos usar conceitos como solução de sistemas lineares, interseção e soma de subespaços, além de conceito de soma direta.

Passo 2

Item a) Determinar .
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso representa o conjunto de vetores que pertencem tanto a quanto a . Ou seja, queremos encontrar todos os vetores que satisfazem as equações que definem e também a equação que define .
Para isso, vamos montar um sistema de equações com todas as condições:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de que satisfazem todas as três equações simultaneamente.

Passo 3

Vamos resolver o sistema passo a passo.
Primeiro, da primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, substituímos e na terceira equação:
Assim, temos . Substituindo esse valor em , obtemos:
E de , sabemos que é igual a . Então, os vetores que pertencem à interseção são da forma:

Passo 4

Item b) Exibir uma base para .
Com base na solução encontrada no item a), vimos que todos os vetores na interseção são múltiplos de . Isso significa que a interseção é gerada por esse único vetor.
Portanto, uma base para é o conjunto contendo o vetor .

Passo 5

Item c) Determinar .
A soma dos subespaços consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de .
Para encontrar essa soma, vamos considerar os sistemas que definem e :
Para encontrar , precisamos resolver o sistema composto por todas essas equações.
Vamos organizar o sistema:
Já resolvemos esse sistema anteriormente e encontramos que a solução é e . Portanto, a soma é o conjunto de todos os vetores , que é precisamente .

Passo 6

Item d) A soma é direta?
Uma soma de subespaços é direta se a interseção contém apenas o vetor zero, ou seja, .
No nosso caso, vimos que é formado por todos os vetores da forma . Isso significa que a interseção não é apenas o vetor zero, a menos que .
Portanto, como contém mais vetores além do vetor zero, a soma não é direta.

Passo 7

Item e) ?
Para verificar se a soma é igual a todo o espaço , precisamos verificar se qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de .
No entanto, observamos que consiste apenas dos vetores da forma . Isso significa que apenas vetores onde as duas primeiras coordenadas são zero estão na soma. Claramente, isso não abrange todos os vetores possíveis em , já que existem vetores com as primeiras coordenadas diferentes de zero que não podem ser obtidos por essa soma.
Portanto, não, não é igual a .

Resposta

a)
b) Uma base para é
c)
d) A soma não é direta.
e)

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Capacitores são elementos de circuito que podem armazenar energia quando submetidos a uma diferença de potencial. Num dado circuito, deseja-se que um capacitor de capacitância armazene uma energia quando submetido a uma diferença de potencial entre seus terminais.
Considerando as informações apresentadas, assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor da capacitância desse capacitor.
a)
b)
c)
d)
e)
Os dispositivos de carga acoplada ou (charge-coupled device) são peças de grande destaque na tecnologia de imageamento digital. O CCD é um sensor semicondutor para captação de imagens por um circuito integrado que contém uma matriz de capacitores acoplados. Por meio de lentes, uma imagem é projetada na matriz de capacitores e faz com que cada capacitor acumule uma carga elétrica proporcional à intensidade da luz incidente. Para atingir sua função no CCD, os capacitores são organizados por meio de associações.
Sobre as propriedades das associações de capacitores, atribua (verdadeiro) ou (falso) às afirmativas a seguir.
( ) Na associação de capacitores em paralelo, a carga total é a soma das cargas de cada capacitor.
( ) associação de capacitores em série, as cargas elétricas armazenadas nas armaduras de cada capacitor são iguais.
( ) A diferença de potencial elétrico é igual para todos os capacitores em uma associação em paralelo.
( ) Um sistema constituído de capacitores iguais, de capacitância , conectados em paralelo, pode ser substituido por um único capacitor, cuja capacitância seja igual a .
( ) Em uma associação em série, a capacitância equivalente é igual à soma das capacitâncias de cada capacitor.
Assinale a alternativa que contém, de cima para baixo, a sequência correta.
respectivamente,
a)
b) e .
c) e .
d) .
e) e .
Considere as retas
b) Calcule a distância entre as retas e .
Calcule a distância entre o ponto e plano contendo o ponto e paralelo aos vetores e .