Sejam e e subespaços de .
a) Determine .
b) Exiba uma base para .
c) Determine .
d) A soma é direta?
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado fala sobre dois subespaços e do espaço , cada um definido por algumas equações lineares. Nosso objetivo é, em várias partes, encontrar interseções, bases, somas de subespaços e verificar algumas propriedades dessas somas. Para isso, vamos usar conceitos como solução de sistemas lineares, interseção e soma de subespaços, além de conceito de soma direta.
Passo 2
Item a) Determinar .
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso representa o conjunto de vetores que pertencem tanto a quanto a . Ou seja, queremos encontrar todos os vetores que satisfazem as equações que definem e também a equação que define .
Para isso, vamos montar um sistema de equações com todas as condições:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de que satisfazem todas as três equações simultaneamente.
Passo 3
Vamos resolver o sistema passo a passo.
Primeiro, da primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, substituímos e na terceira equação:
Assim, temos . Substituindo esse valor em , obtemos:
E de , sabemos que é igual a . Então, os vetores que pertencem à interseção são da forma:
Passo 4
Item b) Exibir uma base para .
Com base na solução encontrada no item a), vimos que todos os vetores na interseção são múltiplos de . Isso significa que a interseção é gerada por esse único vetor.
Portanto, uma base para é o conjunto contendo o vetor .
Passo 5
Item c) Determinar .
A soma dos subespaços consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de .
Para encontrar essa soma, vamos considerar os sistemas que definem e :
Para encontrar , precisamos resolver o sistema composto por todas essas equações.
Vamos organizar o sistema:
Já resolvemos esse sistema anteriormente e encontramos que a solução é e . Portanto, a soma é o conjunto de todos os vetores , que é precisamente .
Passo 6
Item d) A soma é direta?
Uma soma de subespaços é direta se a interseção contém apenas o vetor zero, ou seja, .
No nosso caso, vimos que é formado por todos os vetores da forma . Isso significa que a interseção não é apenas o vetor zero, a menos que .
Portanto, como contém mais vetores além do vetor zero, a soma não é direta.
Passo 7
Item e) ?
Para verificar se a soma é igual a todo o espaço , precisamos verificar se qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de .
No entanto, observamos que consiste apenas dos vetores da forma . Isso significa que apenas vetores onde as duas primeiras coordenadas são zero estão na soma. Claramente, isso não abrange todos os vetores possíveis em , já que existem vetores com as primeiras coordenadas diferentes de zero que não podem ser obtidos por essa soma.