Considere as retas
b) Calcule a distância entre as retas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para calcular a distância entre duas retas no espaço. Aqui, estamos lidando com geometria analítica. Para isso, vamos precisar entender as equações das retas, identificar seus vetores diretores e usar uma fórmula que nos ajude a encontrar a distância entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas e de uma forma mais fácil de trabalhar. A reta está dada por:
Podemos parametrizar essa reta usando um parâmetro, digamos . Assim:
Então, um ponto qualquer na reta é , e o vetor diretor da reta é .

Passo 3

A reta está definida pelas equações paramétricas:
Aqui, o parâmetro é . Então, um ponto na reta é , e o vetor diretor da reta é .

Passo 4

Para calcular a distância entre as duas retas, precisamos verificar se elas são paralelas ou se são retas racionais (não paralelas e não se cruzam). Para isso, observamos os vetores diretores:
Vemos que no componente e , mas não no . Portanto, as retas não são paralelas.

Passo 5

Como as retas não são paralelas, elas são retas racionais e não se cruzam, ou seja, são dadas como “skew”. Para calcular a distância entre essas retas, usamos a seguinte fórmula:
â
Onde:
  • é o vetor que liga um ponto na reta a um ponto na reta .
  • representa o produto vetorial.
  • representa o produto escalar.

Passo 6

Vamos escolher pontos específicos nas retas para facilitar os cálculos. Vamos escolher na reta com :
E na reta com :
Agora, o vetor é:

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto vetorial :

Passo 8

Em seguida, calculamos o produto escalar :
O valor absoluto disso é .

Passo 9

Agora, calculamos a magnitude do vetor :

Resposta

A distância entre as retas e é:
â

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a)
b)
c)
d)
e)
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e .