Considere as retas
r: x-12=-1-y4, z=2 s:llll x & = & -1 & +t y & = & -2 t z & = & -8 & +t
b) Calcule a distância entre as retas r e s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para calcular a distância entre duas retas no espaço. Aqui, estamos lidando com geometria analítica. Para isso, vamos precisar entender as equações das retas, identificar seus vetores diretores e usar uma fórmula que nos ajude a encontrar a distância entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas x-12 = -1 - y4, z = 2 e x = 1 + 2lambda de uma forma mais fácil de trabalhar. A reta y = -1 - 4lambda está dada por:
z = 2
Podemos parametrizar essa reta usando um parâmetro, digamos 2 -4 0 . Assim:
Então, um ponto qualquer na reta é , e o vetor diretor da reta é .

Passo 3

A reta llll x & = & -1 + t y & = & -2t z & = & -8 + t está definida pelas equações paramétricas:
1 -2 1
Aqui, o parâmetro é . Então, um ponto na reta é , e o vetor diretor da reta é .

Passo 4

Para calcular a distância entre as duas retas, precisamos verificar se elas são paralelas ou se são retas racionais (não paralelas e não se cruzam). Para isso, observamos os vetores diretores:
dr = 2 -4 0 , ds = 1 -2 1
Vemos que no componente e , mas não no . Portanto, as retas não são paralelas.

Passo 5

Como as retas não são paralelas, elas são retas racionais e não se cruzam, ou seja, são dadas como “skew”. Para calcular a distância entre essas retas, usamos a seguinte fórmula:
Distância = |dr times ds cdot PQ||dr times ds| â
Onde:
  • é o vetor que liga um ponto na reta a um ponto na reta .
  • representa o produto vetorial.
  • representa o produto escalar.

Passo 6

Vamos escolher pontos específicos nas retas para facilitar os cálculos. Vamos escolher P = (1, -1, 2) na reta Q = (-1, 0, -8) com PQ = Q - P = (-1 - 1, 0 - (-1), -8 - 2) = (-2, 1, -10) :
E na reta com :
Agora, o vetor é:

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto vetorial dr times ds = i & j & k 2 & -4 & 0 1 & -2 & 1 = i times (-4 cdot 1 - 0 cdot (-2)) - j times (2 cdot 1 - 0 cdot 1) + k times (2 cdot (-2) - (-4) cdot 1) :
= i times (-4) - j times 2 + k times (-4 + 4) = (-4, -2, 0)

Passo 8

Em seguida, calculamos o produto escalar (-4, -2, 0) cdot (-2, 1, -10) = (-4)(-2) + (-2)(1) + 0(-10) = 8 - 2 + 0 = 6 :
O valor absoluto disso é .

Passo 9

Agora, calculamos a magnitude do vetor |dr times ds| = raiz(-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 = raiz16 + 4 + 0 = raiz20 = 2raiz5 :

Resposta

A distância entre as retas Distância = 62raiz5 = 3raiz5 = 3raiz55 approx 1,34 unidades e é:
â

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