Calcule a distância do ponto ao plano .
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a distância entre o ponto e o plano que é definido pela equação paramétrica . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente como encontrar a distância de um ponto a um plano no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar o vetor normal do plano e aplicar a fórmula da distância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação paramétrica do plano . Ela está dada por:
Aqui, é um ponto que pertence ao plano, e e são os vetores diretores do plano. Esses vetores diretores são importantes para achar o vetor normal.

Passo 3

Para encontrar o vetor normal ao plano, a gente precisa fazer o produto vetorial dos dois vetores diretores. Os vetores diretores são e . O produto vetorial vai nos dar o vetor normal.
Vamos calcular:
Podemos simplificar o vetor normal para .

Passo 4

Agora que temos o vetor normal , vamos usar a fórmula da distância do ponto ao plano:
Onde:
  • é o ponto dado.
  • é um ponto qualquer no plano.
  • é o vetor normal do plano.
Vamos calcular :

Passo 5

Agora, vamos fazer o produto escalar :
O valor absoluto desse produto é .
A norma de é:

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula da distância:

Resposta

A distância do ponto ao plano é unidades.

Exercícios relacionados

Determine as equaçōes paramétricas das seguintes retas:
que passa pelos pontos e .
Determine a equaçâo cartesiana do plano descrito nos casos abaixo.
: contem a reta de equaçào e é paralelo ao vetor
Calcule a distância entre os planos e .
©
Determine a distância do ponto à reta , onde: