Calcule a distância do ponto P ao plano pi.
(a) P=(1,3,4), pi: X=(1,0,0)+lambda(1,0,0)+mu(-1,0,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a distância entre o ponto e o plano que é definido pela equação paramétrica . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente como encontrar a distância de um ponto a um plano no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar o vetor normal do plano e aplicar a fórmula da distância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação paramétrica do plano X = (1, 0, 0) + lambda(1, 0, 0) + mu(-1, 0, 3) . Ela está dada por:
Aqui, é um ponto que pertence ao plano, e e são os vetores diretores do plano. Esses vetores diretores são importantes para achar o vetor normal.

Passo 3

Para encontrar o vetor normal N = v times w = i & j & k 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 3 ao plano, a gente precisa fazer o produto vetorial dos dois vetores diretores. Os vetores diretores são N = i(0 cdot 3 - 0 cdot 0) - j(1 cdot 3 - 0 cdot (-1)) + k(1 cdot 0 - 0 cdot (-1)) e N = i(0) - j(3) + k(0) = (0, -3, 0) . O produto vetorial vai nos dar o vetor normal.
Vamos calcular:
Podemos simplificar o vetor normal para .

Passo 4

Agora que temos o vetor normal d = |N cdot (P - Q)||N| , vamos usar a fórmula da distância do ponto ao plano:
P - Q = (1 - 1, 3 - 0, 4 - 0) = (0, 3, 4)
Onde:
  • é o ponto dado.
  • é um ponto qualquer no plano.
  • é o vetor normal do plano.
Vamos calcular :

Passo 5

Agora, vamos fazer o produto escalar N cdot (P - Q) = (0, 1, 0) cdot (0, 3, 4) = 0 cdot 0 + 1 cdot 3 + 0 cdot 4 = 3 :
|N| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 = 1
O valor absoluto desse produto é .
A norma de é:

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula da distância:
d = 31 = 3

Resposta

A distância do ponto ao plano é unidades.

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