Determine a equaçâo cartesiana do plano descrito nos casos abaixo. : contem a reta de equaçào e é paralelo ao vetor [-2,1,3]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação cartesiana de um plano chamado pi. Esse plano tem que conter a retar definida por:
r: l x = -1 + 2t y = 2 + t z = 3 - t t in R
Além disso, o plano pi precisa ser paralelo ao vetorv = [-2, 1, 3]. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como reta, plano, vetor diretor e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma reta no espaço é definida por um ponto e um vetor diretor. Na nossa reta r, o ponto inicial é P0(-1, 2, 3) e o vetor diretor é d = [2, 1, -1]. Esse vetor nos diz a direção em que a reta segue.
Passo 3
Agora, como queremos o plano pi que contém a reta r, precisamos garantir que qualquer ponto da reta esteja no plano. Além disso, o plano precisa ser paralelo ao vetor v = [-2, 1, 3]. Isso significa que v precisa estar no plano ou ser direção paralela ao plano.
Passo 4
Para definir um plano, a gente precisa de um vetor normaln, que é perpendicular ao plano. Sabendo que o plano deve ser paralelo ao vetor v e conter a reta r, a gente pode encontrar n usando o produto vetorial entre o vetor diretor da reta d = [2, 1, -1] e o vetor v = [-2, 1, 3].
Vamos calcular:
n = d times v = i & j & k 2 & 1 & -1 -2 & 1 & 3 = i(1 cdot 3 - (-1) cdot 1) - j(2 cdot 3 - (-1) cdot (-2)) + k(2 cdot 1 - 1 cdot (-2))
= i(3 + 1) - j(6 - 2) + k(2 + 2)
= 4i - 4j + 4k
n = [4, -4, 4]
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 4:
n = [1, -1, 1]
Passo 5
Com o vetor normal n = [1, -1, 1] e sabendo que o ponto P0(-1, 2, 3) está no plano, usamos a equação do plano:
n cdot (r - r0) = 0
Onde r = [x, y, z] e r0 = [-1, 2, 3]. Fazendo o produto, temos: