Determine a equaçâo cartesiana do plano descrito nos casos abaixo.
: contem a reta de equaçào e é paralelo ao vetor

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação cartesiana de um plano chamado . Esse plano tem que conter a reta definida por:
Além disso, o plano precisa ser paralelo ao vetor . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como reta, plano, vetor diretor e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma reta no espaço é definida por um ponto e um vetor diretor. Na nossa reta , o ponto inicial é e o vetor diretor é . Esse vetor nos diz a direção em que a reta segue.

Passo 3

Agora, como queremos o plano que contém a reta , precisamos garantir que qualquer ponto da reta esteja no plano. Além disso, o plano precisa ser paralelo ao vetor . Isso significa que precisa estar no plano ou ser direção paralela ao plano.

Passo 4

Para definir um plano, a gente precisa de um vetor normal , que é perpendicular ao plano. Sabendo que o plano deve ser paralelo ao vetor e conter a reta , a gente pode encontrar usando o produto vetorial entre o vetor diretor da reta e o vetor .
Vamos calcular:
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 4:

Passo 5

Com o vetor normal e sabendo que o ponto está no plano, usamos a equação do plano:
Onde e . Fazendo o produto, temos:

Resposta

A equação cartesiana do plano é:

Exercícios relacionados

Use a Regra de Cramer para resolver o sistema:
Classificar os seguintes subconjuntos do em LI ou LD (Justifique):
a)
Determine as equaçōes paramétricas das seguintes retas:
que passa pelos pontos e .
Calcule a distância do ponto ao plano .
(a)