Determine a distância do ponto P à reta r, onde:
P=(2,-1,1) r: x-12=y+3-1=z-43

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância do ponto x-12 = y+3-1 = z-43 até a reta , que está definida pelas equações:
Esse problema pertence ao conteúdo de Geometria Analítica no Espaço, especificamente sobre distância ponto-reta. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a distância entre um ponto e uma reta no espaço usando vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto qualquer que pertença à reta x = 1, y = -3, z = 4 e o vetor diretor da reta. Observando as equações da reta, podemos ver que quando o parâmetro é zero, temos:
d = 2 -1 3
Então, um ponto na reta é .
O vetor diretor da reta vem dos denominadores das equações, ou seja:

Passo 3

Agora, vamos formar o vetor AP = P - A = 2 - 1 -1 - (-3) 1 - 4 = 1 2 -3 que vai do ponto ao ponto :

Passo 4

Para achar a distância, usamos a fórmula que envolve o produto vetorial entre Distância = |AP times d||d| e :
â
O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular a ambos, e o módulo desse vetor dividido pelo módulo de nos dá a distância desejada.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial AP times d = i & j & k 1 & 2 & -3 2 & -1 & 3 = i(2 cdot 3 - (-3) cdot (-1)) - j(1 cdot 3 - (-3) cdot 2) + k(1 cdot (-1) - 2 cdot 2) :
AP times d = i(6 - 3) - j(3 + 6) + k(-1 - 4) = i(3) - j(9) + k(-5) = 3 -9 -5
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo do vetor |AP times d| = raiz3^2 + (-9)^2 + (-5)^2 = raiz9 + 81 + 25 = raiz115 :

Passo 7

Também precisamos do módulo do vetor diretor |d| = raiz2^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14 :

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
Distância = raiz115raiz14 = raiz11514 = raiz8,214 approx 2,867 â

Resposta

A distância do ponto à reta é aproximadamente 2,867 unidades.

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