Determine a distância do ponto à reta , onde:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância do ponto até a reta , que está definida pelas equações:
Esse problema pertence ao conteúdo de Geometria Analítica no Espaço, especificamente sobre distância ponto-reta. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a distância entre um ponto e uma reta no espaço usando vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto qualquer que pertença à reta e o vetor diretor da reta. Observando as equações da reta, podemos ver que quando o parâmetro é zero, temos:
Então, um ponto na reta é .
O vetor diretor da reta vem dos denominadores das equações, ou seja:

Passo 3

Agora, vamos formar o vetor que vai do ponto ao ponto :

Passo 4

Para achar a distância, usamos a fórmula que envolve o produto vetorial entre e :
â
O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular a ambos, e o módulo desse vetor dividido pelo módulo de nos dá a distância desejada.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo do vetor :

Passo 7

Também precisamos do módulo do vetor diretor :

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
â

Resposta

A distância do ponto à reta é aproximadamente 2,867 unidades.

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