Determine a equação da circunferência que passa nos pontos (0,0), (3,6) e (7,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos (0,0), (3,6) e (7,0). Esse é um problema de Geometria Analítica, onde vamos usar a fórmula geral da circunferência e resolver um sistema de equações para encontrar o centro e o raio da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral da circunferência no plano cartesiano:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Aqui, (h,k) é o centro da circunferência e r é o raio. Nosso objetivo é encontrar os valores de h, k e r que satisfazem essa equação para os três pontos dados.

Passo 3

Vamos substituir cada um dos três pontos na equação da circunferência para obter três equações:
  1. Para o ponto (0,0):
(0 - h)^2 + (0 - k)^2 = r^2
Simplificando:
h^2 + k^2 = r^2
  1. Para o ponto (3,6):
(3 - h)^2 + (6 - k)^2 = r^2
Expandindo:
(3 - h)^2 = 9 - 6h + h^2
(6 - k)^2 = 36 - 12k + k^2
Então:
9 - 6h + h^2 + 36 - 12k + k^2 = r^2
h^2 + k^2 - 6h - 12k + 45 = r^2
  1. Para o ponto (7,0):
(7 - h)^2 + (0 - k)^2 = r^2
Simplificando:
(7 - h)^2 = 49 - 14h + h^2
49 - 14h + h^2 + k^2 = r^2
h^2 + k^2 - 14h + 49 = r^2

Passo 4

Agora, temos três equações:
  1. h^2 + k^2 = r^2
  2. h^2 + k^2 - 6h - 12k + 45 = r^2
  3. h^2 + k^2 - 14h + 49 = r^2
Vamos subtrair a primeira equação da segunda e da terceira para eliminar r^2:
Subtraindo a equação 1 da equação 2:
(h^2 + k^2 - 6h - 12k + 45) - (h^2 + k^2) = 0
Simplificando:
-6h - 12k + 45 = 0
Subtraindo a equação 1 da equação 3:
(h^2 + k^2 - 14h + 49) - (h^2 + k^2) = 0
Simplificando:
-14h + 49 = 0

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. -6h - 12k + 45 = 0
  2. -14h + 49 = 0
Vamos resolver a segunda equação para encontrar h:
-14h + 49 = 0
-14h = -49
h = 4914
h = 3.5

Passo 6

Com o valor de h = 3.5, vamos substituir na primeira equação para encontrar k:
-6(3.5) - 12k + 45 = 0
-21 - 12k + 45 = 0
24 - 12k = 0
-12k = -24
k = 2

Passo 7

Agora que temos h = 3.5 e k = 2, vamos encontrar o raio r usando a primeira equação original:
h^2 + k^2 = r^2
(3.5)^2 + (2)^2 = r^2
12.25 + 4 = r^2
16.25 = r^2
r = raiz16.25
r = 4.0311 (aproximadamente)

Resposta

A equação da circunferência é:
(x - 3.5)^2 + (y - 2)^2 = 16.25

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