Determine a equação da circunferência que passa nos pontos
,
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos
,
e
. Esse é um problema de Geometria Analítica, onde vamos usar a fórmula geral da circunferência e resolver um sistema de equações para encontrar o centro e o raio da circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral da circunferência no plano cartesiano:
Aqui,
Passo 3
Vamos substituir cada um dos três pontos na equação da circunferência para obter três equações:
- Para o ponto
:
Simplificando:
- Para o ponto
:
Expandindo:
Então:
- Para o ponto
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, temos três equações:
Vamos subtrair a primeira equação da segunda e da terceira para eliminar
:
Subtraindo a equação 1 da equação 2:
Simplificando:
Subtraindo a equação 1 da equação 3:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver a segunda equação para encontrar
:
Passo 6
Com o valor de
, vamos substituir na primeira equação para encontrar
:
Passo 7
Agora que temos
e
, vamos encontrar o raio
usando a primeira equação original:
Resposta
A equação da circunferência é: