Determine uma equação e esboce o gráfico da hipérbole que satisfaz as condições dadas.
(l) vértices A1=(5,-1) e A2=(5,5) e excentricidade 2 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação e esboçar o gráfico de uma hipérbole que tem dois vértices em e , e uma excentricidade igual a 2. Para isso, vamos usar as fórmulas da hipérbole e entender o que cada informação nos diz sobre ela.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o centro da hipérbole. O centro é o ponto médio entre os dois vértices. Então, vamos calcular a média das coordenadas de Centro (C) = ( 5 + 52, -1 + 52 ) = (5, 2) e .

Passo 3

Agora, vamos determinar a distância entre os vértices. Essa distância é igual a 2a = raiz(5-5)^2 + (5 - (-1))^2 = raiz0 + 36 = 6 , onde a = 62 = 3 é a distância do centro até cada vértice.

Passo 4

Sabemos que a excentricidade 2 = c3 Rightarrow c = 6 é igual a 2. A excentricidade da hipérbole relaciona-se com e pela fórmula . Vamos encontrar :

Passo 5

Com 6^2 = 3^2 + b^2 Rightarrow 36 = 9 + b^2 Rightarrow b^2 = 27 Rightarrow b = raiz27 = 3raiz3 e em mãos, podemos encontrar usando a relação :

Passo 6

Agora, vamos escrever a equação da hipérbole. Como os vértices estão alinhados verticalmente (mesma coordenada (y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1 ), a hipérbole abre para cima e para baixo. A equação geral nesse caso é:
(y - 2)^29 - (x - 5)^227 = 1
Substituindo , , , e :

Passo 7

Para esboçar o gráfico, a gente coloca o centro em , marca os vértices em e . Como e , desenhamos as assíntotas que passam pelo centro com inclinações . A hipérbole irá abrir para cima e para baixo, seguindo essas direções.

Resposta

A equação da hipérbole é:
(y - 2)^29 - (x - 5)^227 = 1
O gráfico é uma hipérbole com centro em , vértices em e , abrindo verticalmente, e assíntotas com inclinação .

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