Determine uma equação e esboce o gráfico da hipérbole que satisfaz as condições dadas.
vértices
e
e excentricidade 2 ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação e esboçar o gráfico de uma hipérbole que tem dois vértices em
e
, e uma excentricidade igual a 2. Para isso, vamos usar as fórmulas da hipérbole e entender o que cada informação nos diz sobre ela.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o centro da hipérbole. O centro é o ponto médio entre os dois vértices. Então, vamos calcular a média das coordenadas de
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a distância entre os vértices. Essa distância é igual a
, onde
é a distância do centro até cada vértice.
Passo 4
Sabemos que a excentricidade
é igual a 2. A excentricidade da hipérbole relaciona-se com
e
pela fórmula
. Vamos encontrar
:
Passo 5
Com
e
em mãos, podemos encontrar
usando a relação
:
Passo 6
Agora, vamos escrever a equação da hipérbole. Como os vértices estão alinhados verticalmente (mesma coordenada
), a hipérbole abre para cima e para baixo. A equação geral nesse caso é:
Substituindo
,
,
, e
:
Passo 7
Para esboçar o gráfico, a gente coloca o centro em
, marca os vértices em
e
. Como
e
, desenhamos as assíntotas que passam pelo centro com inclinações
. A hipérbole irá abrir para cima e para baixo, seguindo essas direções.
Resposta
A equação da hipérbole é:
O gráfico é uma hipérbole com centro em
, vértices em
e
, abrindo verticalmente, e assíntotas com inclinação
.