Determine uma equação e esboce o gráfico da hipérbole que satisfaz as condições dadas.
vértices e e excentricidade 2 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação e esboçar o gráfico de uma hipérbole que tem dois vértices em e , e uma excentricidade igual a 2. Para isso, vamos usar as fórmulas da hipérbole e entender o que cada informação nos diz sobre ela.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o centro da hipérbole. O centro é o ponto médio entre os dois vértices. Então, vamos calcular a média das coordenadas de e .

Passo 3

Agora, vamos determinar a distância entre os vértices. Essa distância é igual a , onde é a distância do centro até cada vértice.

Passo 4

Sabemos que a excentricidade é igual a 2. A excentricidade da hipérbole relaciona-se com e pela fórmula . Vamos encontrar :

Passo 5

Com e em mãos, podemos encontrar usando a relação :

Passo 6

Agora, vamos escrever a equação da hipérbole. Como os vértices estão alinhados verticalmente (mesma coordenada ), a hipérbole abre para cima e para baixo. A equação geral nesse caso é:
Substituindo , , , e :

Passo 7

Para esboçar o gráfico, a gente coloca o centro em , marca os vértices em e . Como e , desenhamos as assíntotas que passam pelo centro com inclinações . A hipérbole irá abrir para cima e para baixo, seguindo essas direções.

Resposta

A equação da hipérbole é:
O gráfico é uma hipérbole com centro em , vértices em e , abrindo verticalmente, e assíntotas com inclinação .

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Considere a hipérbole de equação
Determine
a) As coordenadas de seus vértices e .
b) As coordenadas de seus focos e .
c) As equações de suas assíntotas e .
Quantos cubos de gelo de 24 g , cuja temperatura inicial é , precisam ser colocados em 60 g de carvão quente, com temperatura inicial de , qual a temperatura de equilíbrio? (Dados: calor específico da água: 1 e calor específico do carvão: 0,33)
Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados
as assíntotas , e um ponto da hipérbole .
Calcule a distância do ponto ao plano tal que e . Determine o ponto simétrico a em relação ao plano .