Calcule a distância do ponto P=(-2,1,2) à reta que passa pelos pontos A=(1,2,1) e B=(0,-1,3).

Passo 1

Vamos calcular a distância do ponto até a reta que passa pelos pontos e . Esse problema envolve geometria vetorial, especificamente a fórmula para encontrar a distância de um ponto até uma reta no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar trabalhar com vetores, produto vetorial e normas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor que representa a direção da reta, obtido subtraindo as coordenadas de AB = B - A = (0 - 1, -1 - 2, 3 - 1) = (-1, -3, 2) e :

Passo 3

Em seguida, vamos determinar o vetor que liga o ponto AP = P - A = (-2 - 1, 1 - 2, 2 - 1) = (-3, -1, 1) ao ponto :

Passo 4

A distância d = | AB times AP | | AB | do ponto até a reta é dada pela fórmula:
Aqui, representa o produto vetorial e a norma do vetor.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial AB times AP = i & j & k -1 & -3 & 2 -3 & -1 & 1 :
= i cdot [(-3)(1) - (2)(-1)] - j cdot [(-1)(1) - (2)(-3)] + k cdot [(-1)(-1) - (-3)(-3)]
= i cdot (-3 + 2) - j cdot (-1 + 6) + k cdot (1 - 9)
= i cdot (-1) - j cdot (5) + k cdot (-8)
= (-1, -5, -8)

Passo 6

Agora, calculamos a norma do produto vetorial:
| AB times AP | = raiz (-1)^2 + (-5)^2 + (-8)^2 = raiz1 + 25 + 64 = raiz90 = 3raiz10

Passo 7

Calculamos também a norma de | AB | = raiz (-1)^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz1 + 9 + 4 = raiz14 :

Resposta

Portanto, a distância do ponto d = 3raiz10raiz14 approx 2,54 até a reta é:

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