Resolva o sistema linear
l x+3 y+2 z+w=12 x+2 y+4 z+w=18 y+7 z=21 2 x+9 y+2 z+2 w=18
e determine o conjunto solução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um sistema de equações lineares com quatro variáveis: , , e . Nosso objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações simultaneamente. Para isso, vamos usar métodos de resolução de sistemas lineares, como substituição e eliminação, além de aplicar certas propriedades de álgebra para simplificar o sistema passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a terceira equação do sistema:
y + 7z = 21
Essa equação é mais simples porque tem apenas duas variáveis ( e ). Vamos resolver ela primeiro para facilitar os próximos passos.

Passo 3

Vamos isolar a variável y = 21 - 7z na terceira equação:
Agora temos expresso em termos de , o que nos ajudará a substituir esse valor nas outras equações e reduzir o número de variáveis nelas.

Passo 4

Agora, vamos substituir x + 3y + 2z + w = 12 na primeira e na segunda equações do sistema para eliminar a variável x + 3(21 - 7z) + 2z + w = 12 . Vamos começar pela primeira equação:
x + 63 - 21z + 2z + w = 12
Substituindo x - 19z + w = -51 (Equação 1.1) :
Simplificando:
çã

Passo 5

Agora, substituímos x + 2y + 4z + w = 18 na segunda equação:
x + 2(21 - 7z) + 4z + w = 18
Substituindo x + 42 - 14z + 4z + w = 18 :
x - 10z + w = -24 (Equação 2.1)
Simplificando:
çã

Passo 6

Agora temos duas novas equações com três variáveis:
  1. (x - 19z + w) - (x - 10z + w) = -51 - (-24) (Equação 1.1)
  2. -9z = -27 (Equação 2.1)
Vamos subtrair a Equação 2.1 da Equação 1.1 para eliminar z = 3 e :
Simplificando:

Passo 7

Com y = 21 - 7z = 21 - 7(3) = 21 - 21 = 0 , vamos voltar à expressão que encontramos para :
Então, .

Passo 8

Agora que temos x - 10z + w = -24 e x - 30 + w = -24 , vamos substituir esses valores na Equação 2.1 para encontrar uma relação entre x + w = 6 (Equação 4) e :
Substituindo :
çã

Passo 9

Vamos agora usar a quarta equação do sistema original para encontrar mais informações:
2x + 9y + 2z + 2w = 18
Sabemos que 2x + 0 + 6 + 2w = 18 e 2x + 2w = 12 , então substituímos:
x + w = 6 (Confirmação da Equação 4)
Dividindo todos os termos por 2:
çãçã
Isso confirma que , mas precisamos de mais uma equação para encontrar valores específicos de e .

Passo 10

Vamos usar a Equação 1.1:
x - 19z + w = -51
Substituindo x - 57 + w = -51 :
x + w = 6 (Mesma relação)
çã
Isso mostra que as equações estão interligadas e não fornecem valores únicos para e . Isso significa que existe uma infinidade de soluções para e que satisfazem .

Resposta

O conjunto solução é dado por:
x = 6 - w y = 0 z = 3 w é um número real qualquer éú

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