Calcule a distância do ponto P à reta r.
(b) P=(1,0,1) r: x=2 y=3 z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a distância do ponto à reta definida por , , e variando. Aqui estamos lidando com geometria no espaço tridimensional e vamos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto qualquer que esteja na reta . Como e são constantes, podemos escolher para facilitar. Então, um ponto na reta é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor diretor da reta . Como é a única coordenada que varia, o vetor diretor é .

Passo 4

A fórmula para calcular a distância d = ||P A times v||||v|| entre o ponto e a reta é:
Onde:
  • é o vetor que vai de até .
  • representa o produto vetorial.
  • denota o módulo do vetor.

Passo 5

Vamos calcular P A = P - A = (1 - 2, 0 - 3, 1 - 0) = (-1, -3, 1) :

Passo 6

Agora, fazemos o produto vetorial P A times v = i & j & k -1 & -3 & 1 0 & 0 & 1 = (-3 cdot 1 - 1 cdot 0)i - (-1 cdot 1 - 1 cdot 0)j + (-1 cdot 0 - (-3) cdot 0)k = (-3)i + (1)j + 0k = (-3, 1, 0) :

Passo 7

Calculamos o módulo do vetor resultante:
||P A times v|| = raiz(-3)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz9 + 1 = raiz10

Passo 8

Também calculamos o módulo do vetor diretor ||v|| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 = 1 :

Passo 9

Agora, aplicamos na fórmula da distância:
d = raiz101 = raiz10

Resposta

A distância do ponto à reta é .

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