Verifique para quais pontos da reta a área do triângulo é a menor possível e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.


Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois pontos no espaço, e , e uma reta definida pelas equações e . Nosso objetivo é encontrar os pontos na reta que fazem com que a área do triângulo seja a menor possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e cálculo de áreas de triângulos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta . Ela é definida pela interseção de dois planos: e . Para parametrizar a reta, podemos resolver esse sistema de equações. Vamos expressar uma das variáveis em termos das outras.
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, a reta pode ser parametrizada em função de :
onde é um parâmetro real.

Passo 3

Agora que temos a parametrização da reta , podemos expressar o ponto em função de :
Nosso objetivo é encontrar o valor de que minimiza a área do triângulo . Para isso, vamos usar a fórmula da área de um triângulo formada por três pontos no espaço, que pode ser calculada usando o produto vetorial dos vetores que formam os lados do triângulo.

Passo 4

Vamos definir os vetores e :
A área do triângulo é dada por:
Á

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então,

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma desse vetor:
Então, a área do triângulo é:
Á

Passo 7

Observamos que a área calculada é uma constante, independente do valor de . Isso significa que, para qualquer ponto na reta , a área do triângulo é sempre .

Passo 8

Portanto, não há pontos específicos na reta que minimizem a área do triângulo , pois a área permanece constante para todos os pontos em .

Resposta

A área do triângulo é sempre para qualquer ponto na reta . Isso significa que todos os pontos em resultam na mesma área, não havendo um ponto específico que minimize a área do triângulo .

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Seja a transformação linear e as bases e . Determinar Qual a matriz , onde C é a base canônica do ?
Sejam e . Determine um ponto da reta tal que a área do triângulo seja 12, onde e .
Resposta: ou
Encontre a distância do ponto à reta , nos casos : Rpta: 0
Calcule a distância do ponto à reta .
(b) .