Verifique para quais pontos X da reta r a área do triângulo A B X é a menor possível e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.
A=(1,0,3)
B=(2,1,2)
r: 2 x-y+z=0=x+z-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois pontos no espaço, A=(1,0,3) e B=(2,1,2), e uma reta r definida pelas equações 2x - y + z = 0 e x + z - 1 = 0. Nosso objetivo é encontrar os pontos X na reta r que fazem com que a área do triângulo ABX seja a menor possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e cálculo de áreas de triângulos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta r. Ela é definida pela interseção de dois planos: 2x - y + z = 0 e x + z - 1 = 0. Para parametrizar a reta, podemos resolver esse sistema de equações. Vamos expressar uma das variáveis em termos das outras.
Da segunda equação:
x + z = 1 Rightarrow z = 1 - x
Substituindo z = 1 - x na primeira equação:
2x - y + (1 - x) = 0 2x - y + 1 - x = 0 x - y + 1 = 0 y = x + 1
Então, a reta r pode ser parametrizada em função de x:
x = t y = t + 1 z = 1 - t
onde t é um parâmetro real.

Passo 3

Agora que temos a parametrização da reta r, podemos expressar o ponto X em função de t:
X(t) = (t, t + 1, 1 - t)
Nosso objetivo é encontrar o valor de t que minimiza a área do triângulo ABX. Para isso, vamos usar a fórmula da área de um triângulo formada por três pontos no espaço, que pode ser calculada usando o produto vetorial dos vetores que formam os lados do triângulo.

Passo 4

Vamos definir os vetores AB e AX:
AB = B - A = (2-1, 1-0, 2-3) = (1, 1, -1) AX = X - A = (t-1, t+1-0, 1 - t - 3) = (t-1, t+1, -t -2)
A área do triângulo ABX é dada por:
Área = 12 |AB times AX| Á

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial AB times AX:
AB times AX = i & j & k 1 & 1 & -1 t-1 & t+1 & -t -2
Calculando o determinante:
i (1 cdot (-t -2) - (-1) cdot (t+1)) - j (1 cdot (-t -2) - (-1) cdot (t-1)) + k (1 cdot (t+1) - 1 cdot (t-1))
Simplificando cada componente:
  • Componente i:
1 cdot (-t -2) - (-1) cdot (t+1) = -t -2 + t +1 = -1
  • Componente j:
1 cdot (-t -2) - (-1) cdot (t-1) = -t -2 + t -1 = -3
  • Componente k:
1 cdot (t+1) - 1 cdot (t-1) = t +1 - t +1 = 2
Então,
AB times AX = (-1)i - (-3)j + 2k = (-1, 3, 2)

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma desse vetor:
|AB times AX| = raiz(-1)^2 + 3^2 + 2^2 = raiz1 + 9 + 4 = raiz14
Então, a área do triângulo ABX é:
Área = 12 raiz14 Á

Passo 7

Observamos que a área calculada é uma constante, independente do valor de t. Isso significa que, para qualquer ponto X na reta r, a área do triângulo ABX é sempre 12 raiz14.

Passo 8

Portanto, não há pontos específicos na reta r que minimizem a área do triângulo ABX, pois a área permanece constante para todos os pontos X em r.

Resposta

A área do triângulo ABX é sempre 12 raiz14 para qualquer ponto X na reta r. Isso significa que todos os pontos X em r resultam na mesma área, não havendo um ponto específico que minimize a área do triângulo ABX.

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