Calcule a distância da reta r: x=4+3 t, y=-1+t, z=t ao plano pi: x-y-2 z+4=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a distância entre uma reta e um plano . Estamos lidando com Geometria Analítica, e para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância de uma reta a um plano. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores importantes nessa situação. A reta está dada em sua forma paramétrica, então podemos extrair o vetor diretor da reta. Olhando para as equações:
x = 4 + 3t, y = -1 + t, z = t
O vetor diretor é .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o plano n = (1, -1, -2) . A forma geral de um plano é , onde é o vetor normal do plano. Então, para o nosso plano:

Passo 4

Para verificar se a reta é paralela ao plano, precisamos ver se o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano. Isso é feito calculando o produto escalar d cdot n = (3)(1) + (1)(-1) + (1)(-2) = 3 - 1 - 2 = 0 :
Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano.

Passo 5

Quando a reta é paralela ao plano, a distância entre eles pode ser calculada usando a fórmula da distância de um ponto ao plano. Podemos escolher qualquer ponto na reta para isso. Vamos pegar o ponto quando P(0) = (4, -1, 0) :

Passo 6

A fórmula para a distância D = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 de um ponto A = 1, B = -1, C = -2, D = 4 ao plano x0 = 4, y0 = -1, z0 = 0 é:
D = |1 cdot 4 + (-1) cdot (-1) + (-2) cdot 0 + 4|raiz1^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = |4 + 1 + 0 + 4|raiz1 + 1 + 4 = 9raiz6
Aplicando os valores do nosso ponto e do plano:
Vamos substituir na fórmula:

Passo 7

Podemos simplificar a expressão para deixar mais bonita:
D = 9raiz6 = 9 raiz66 = 3 raiz62

Resposta

A distância da reta ao plano é unidades.

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