Calcule a distância da reta
ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a distância entre uma reta
e um plano
. Estamos lidando com Geometria Analítica, e para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância de uma reta a um plano. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores importantes nessa situação. A reta está dada em sua forma paramétrica, então podemos extrair o vetor diretor da reta. Olhando para as equações:
O vetor diretor
é
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o plano
. A forma geral de um plano é
, onde
é o vetor normal
do plano. Então, para o nosso plano:
Passo 4
Para verificar se a reta é paralela ao plano, precisamos ver se o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano. Isso é feito calculando o produto escalar
:
Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano.
Passo 5
Quando a reta é paralela ao plano, a distância entre eles pode ser calculada usando a fórmula da distância de um ponto ao plano. Podemos escolher qualquer ponto na reta para isso. Vamos pegar o ponto quando
:
Passo 6
A fórmula para a distância
de um ponto
ao plano
é:
Aplicando os valores do nosso ponto e do plano:
Vamos substituir na fórmula:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão para deixar mais bonita:
Resposta
A distância da reta
ao plano
é
unidades.
Exercícios relacionados
Calcule a distância do ponto
à reta
.
(b) .
(b)
Encontre a distância do ponto
à reta
, nos casos :
Rpta: 0
Achar a distância da reta
ao plano
nos casos:
e
.
Dê uma equação vetorial da reta
, contida no plano
, que forma um ângulo de
com o plano
e dista 1 do eixo
.