Calcule a distância da reta ao plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a distância entre uma reta e um plano . Estamos lidando com Geometria Analítica, e para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância de uma reta a um plano. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores importantes nessa situação. A reta está dada em sua forma paramétrica, então podemos extrair o vetor diretor da reta. Olhando para as equações:
O vetor diretor é .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o plano . A forma geral de um plano é , onde é o vetor normal do plano. Então, para o nosso plano:

Passo 4

Para verificar se a reta é paralela ao plano, precisamos ver se o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano. Isso é feito calculando o produto escalar :
Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano.

Passo 5

Quando a reta é paralela ao plano, a distância entre eles pode ser calculada usando a fórmula da distância de um ponto ao plano. Podemos escolher qualquer ponto na reta para isso. Vamos pegar o ponto quando :

Passo 6

A fórmula para a distância de um ponto ao plano é:
Aplicando os valores do nosso ponto e do plano:
Vamos substituir na fórmula:

Passo 7

Podemos simplificar a expressão para deixar mais bonita:

Resposta

A distância da reta ao plano é unidades.

Exercícios relacionados

Calcule a distância do ponto à reta .
(b) .
Encontre a distância do ponto à reta , nos casos : Rpta: 0
Achar a distância da reta ao plano nos casos: e .
Dê uma equação vetorial da reta , contida no plano , que forma um ângulo de com o plano e dista 1 do eixo .