Calcule a distância entre o ponto P=(-2,0,1) e a reta r: x & =3 t+1 y & =2 t-2 z & =t

Passo 1

Vamos resolver o problema de calcular a distância entre um ponto x = 3t + 1 y = 2t - 2 z = t e uma reta definida pelas equações paramétricas:
Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para a distância entre um ponto e uma reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, identificamos um ponto qualquer da reta x = 3(0) + 1 = 1 y = 2(0) - 2 = -2 z = 0 . Vamos escolher para facilitar os cálculos:
Então, o ponto pertence à reta .

Passo 3

Em seguida, determinamos o vetor diretor da reta d = (3, 2, 1) , que é dado pelos coeficientes de nas equações paramétricas:
Esse vetor indica a direção em que a reta está se movendo no espaço.

Passo 4

Agora, calculamos o vetor que vai de QP = P - Q = (-2 - 1, 0 - (-2), 1 - 0) = (-3, 2, 1) até :

Passo 5

A distância D = | d times QP | | d | entre o ponto e a reta é dada pela fórmula:
Aqui, representa o produto vetorial e a norma (comprimento) do vetor.

Passo 6

Calculamos o produto vetorial d times QP = i & j & k 3 & 2 & 1 -3 & 2 & 1 = i(2 cdot 1 - 1 cdot 2) - j(3 cdot 1 - 1 cdot (-3)) + k(3 cdot 2 - 2 cdot (-3)) = i(2 - 2) - j(3 + 3) + k(6 + 6) = i(0) - j(6) + k(12) = (0, -6, 12) :

Passo 7

Calculamos a norma do vetor resultante:
| d times QP | = raiz0^2 + (-6)^2 + 12^2 = raiz0 + 36 + 144 = raiz180 = 6raiz5

Passo 8

Calculamos a norma do vetor diretor | d | = raiz3^2 + 2^2 + 1^2 = raiz9 + 4 + 1 = raiz14 :

Resposta

A distância entre o ponto D = 6raiz5raiz14 = 6raiz7014 = 3raiz707 approx 3.19 unidades e a reta é:

Exercícios relacionados