Calcule a distância entre o ponto e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância entre um ponto e uma reta que é dada pelas equações paramétricas:
Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever a reta em forma vetorial. Para isso, vamos expressar as coordenadas e em função de . Vamos usar um parâmetro comum, digamos . Assim:
Então, a forma vetorial da reta fica:
Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta.

Passo 3

Agora, precisamos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no espaço. A fórmula é:
Onde:
  • é o vetor que vai do ponto até um ponto qualquer na reta.
  • é o vetor diretor da reta.
  • representa o produto vetorial.
  • representa o módulo do vetor.

Passo 4

Vamos identificar os vetores na nossa situação:
  • O ponto é .
  • Um ponto na reta é .
  • O vetor diretor da reta é .
Primeiro, vamos achar o vetor :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor produto vetorial:
E o módulo do vetor diretor :

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:

Resposta

A distância entre o ponto e a reta é unidades.

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Determine o ponto de tal que a soma de suas distâncias a e seja mínima nos casos:
e
Calcule para que a distância entre o ponto e o plano seja resp.m ou
Dê uma equação geral do plano que passa pelos pontos e e que dista 1 da reta .