Calcule a distância entre o ponto P=(0,-1,0) e s: x & =2 z-1 y & =z+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância entre um ponto x = 2z - 1 y = z + 1 e uma reta que é dada pelas equações paramétricas:
Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever a reta x = 2t - 1 y = t + 1 z = t em forma vetorial. Para isso, vamos expressar as coordenadas r(t) = (-1, 1, 0) + t(2, 1, 1) e em função de . Vamos usar um parâmetro comum, digamos . Assim:
Então, a forma vetorial da reta fica:
Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta.

Passo 3

Agora, precisamos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no espaço. A fórmula é:
d = ||PQ times v||||v||
Onde:
  • é o vetor que vai do ponto até um ponto qualquer na reta.
  • é o vetor diretor da reta.
  • representa o produto vetorial.
  • representa o módulo do vetor.

Passo 4

Vamos identificar os vetores na nossa situação:
  • O ponto PQ = Q - P = (-1 - 0, 1 - (-1), 0 - 0) = (-1, 2, 0) é .
  • Um ponto na reta é .
  • O vetor diretor da reta é .
Primeiro, vamos achar o vetor :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial PQ times v = i & j & k -1 & 2 & 0 2 & 1 & 1 :
PQ times v = i(2 cdot 1 - 0 cdot 1) - j(-1 cdot 1 - 0 cdot 2) + k(-1 cdot 1 - 2 cdot 2)
Calculando o determinante:
= i(2) - j(-1) + k(-1 - 4)
= 2i + j - 5k
= (2, 1, -5)

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor produto vetorial:
||PQ times v|| = raiz2^2 + 1^2 + (-5)^2 = raiz4 + 1 + 25 = raiz30
E o módulo do vetor diretor ||v|| = raiz2^2 + 1^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6 :

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = ||PQ times v||||v|| = raiz30raiz6 = raiz306 = raiz5

Resposta

A distância entre o ponto e a reta é unidades.

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