Determine o ponto de
tal que a soma de suas distâncias a
e
seja mínima nos casos:
e
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um plano definido pela equação
e dois pontos no espaço:
e
. O objetivo é encontrar um ponto no plano
que minimize a soma das distâncias até
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente fórmulas de distância no espaço e métodos de otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o plano
. A equação do plano é
. Podemos expressar uma das variáveis em função das outras para facilitar. Vamos isolar
:
Assim, qualquer ponto
no plano
pode ser representado como
.
Passo 3
Agora, precisamos expressar a soma das distâncias de
até
e
. A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é:
Aplicando isso aos nossos pontos:
A soma das distâncias é:
Passo 4
Vamos simplificar as expressões dentro das raízes. Primeiro, para
:
Então:
Fazendo o mesmo para
:
Passo 5
Para encontrar o ponto que minimiza a soma das distâncias
, podemos usar métodos de otimização. Uma abordagem é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, igualá-las a zero e resolver o sistema de equações resultante. Isso nos dará os valores de
e
que minimizam
.
Vamos definir
como:
Passo 6
Calculando as derivadas parciais de
e igualando a zero, resolvemos o sistema de equações para
e
. Essa parte envolve cálculos mais complexos, mas seguindo os passos, encontramos os valores ótimos para
e
.
Após resolver o sistema, obtemos:
Então, substituindo na expressão de
:
Resposta
O ponto no plano
que minimiza a soma das distâncias até
e
é
.