Determine o ponto de tal que a soma de suas distâncias a e seja mínima nos casos:
e

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um plano definido pela equação e dois pontos no espaço: e . O objetivo é encontrar um ponto no plano que minimize a soma das distâncias até e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente fórmulas de distância no espaço e métodos de otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o plano . A equação do plano é . Podemos expressar uma das variáveis em função das outras para facilitar. Vamos isolar :
Assim, qualquer ponto no plano pode ser representado como .

Passo 3

Agora, precisamos expressar a soma das distâncias de até e . A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é:
Aplicando isso aos nossos pontos:
A soma das distâncias é:

Passo 4

Vamos simplificar as expressões dentro das raízes. Primeiro, para :
Então:
Fazendo o mesmo para :

Passo 5

Para encontrar o ponto que minimiza a soma das distâncias , podemos usar métodos de otimização. Uma abordagem é calcular as derivadas parciais de em relação a e , igualá-las a zero e resolver o sistema de equações resultante. Isso nos dará os valores de e que minimizam .
Vamos definir como:

Passo 6

Calculando as derivadas parciais de e igualando a zero, resolvemos o sistema de equações para e . Essa parte envolve cálculos mais complexos, mas seguindo os passos, encontramos os valores ótimos para e .
Após resolver o sistema, obtemos:
Então, substituindo na expressão de :

Resposta

O ponto no plano que minimiza a soma das distâncias até e é .

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Seja o operador linear dado por .
a) Encontre a matriz que representa em relação à base .
b) Determine uma base para o núcleo de e conclua que não é injetiva nem sobrejetiva.
c) Resolva em a equação .
O conjunto é uma base do ?
Calcule a distância entre o ponto e a reta
Calcule a distância entre o ponto e