Determine o ponto de tal que a soma de suas distâncias a e seja mínima nos casos: e
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um plano definido pela equação e dois pontos no espaço: e . O objetivo é encontrar um ponto no plano que minimize a soma das distâncias até e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente fórmulas de distância no espaço e métodos de otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o plano . A equação do plano é . Podemos expressar uma das variáveis em função das outras para facilitar. Vamos isolar :
Assim, qualquer ponto no plano pode ser representado como .
Passo 3
Agora, precisamos expressar a soma das distâncias de até e . A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é:
Aplicando isso aos nossos pontos:
A soma das distâncias é:
Passo 4
Vamos simplificar as expressões dentro das raízes. Primeiro, para :
Então:
Fazendo o mesmo para :
Passo 5
Para encontrar o ponto que minimiza a soma das distâncias , podemos usar métodos de otimização. Uma abordagem é calcular as derivadas parciais de em relação a e , igualá-las a zero e resolver o sistema de equações resultante. Isso nos dará os valores de e que minimizam .
Vamos definir como:
Passo 6
Calculando as derivadas parciais de e igualando a zero, resolvemos o sistema de equações para e . Essa parte envolve cálculos mais complexos, mas seguindo os passos, encontramos os valores ótimos para e .
Após resolver o sistema, obtemos:
Então, substituindo na expressão de :
Resposta
O ponto no plano que minimiza a soma das distâncias até e é .