Seja T: P2(R) P2(R) o operador linear dado por T(p)=x^2 p^prime prime-2 p.
a) Encontre a matriz que representa T em relação à base B=1, x, x^2.
b) Determine uma base para o núcleo de T e conclua que T não é injetiva nem sobrejetiva.
c) Resolva em P2(R) a equação x^2 p^prime prime(x)-2 p(x)=1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um operador linear que atua em polinômios de grau até 2, ou seja, em . O operador é definido por . Precisamos resolver três partes:
a) Encontrar a matriz que representa em relação à base .
b) Determinar uma base para o núcleo de e concluir que não é injetiva nem sobrejetiva.
c) Resolver a equação no espaço .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de operadores lineares, matrizes de transformação, núcleo de um operador e resolver equações diferenciais em polinômios. Vamos passo a passo!

Passo 2

Vamos começar com a parte a): Encontrar a matriz que representa p(x) = 1 Rightarrow p''(x) = 0 em relação à base T(1) = x^2 cdot 0 - 2 cdot 1 = -2 .
Primeiro, precisamos entender como o operador p(x) = x Rightarrow p''(x) = 0 age sobre cada um dos vetores da base T(x) = x^2 cdot 0 - 2 cdot x = -2x . Ou seja, vamos aplicar p(x) = x^2 Rightarrow p''(x) = 2 em T(x^2) = x^2 cdot 2 - 2 cdot x^2 = 2x^2 - 2x^2 = 0 , [T]B = -2 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & 0 e e expressar o resultado em termos da base .
Vamos lá:
  1. Aplicando em 1:
  2. Aplicando em :
  3. Aplicando em :
Agora, expressamos cada resultado em termos da base :
Com esses coeficientes, podemos montar a matriz de em relação à base :

Passo 3

Agora vamos para a parte b): Determinar uma base para o núcleo de x^2 p''(x) - 2 p(x) = 0 e concluir que p'(x) = b + 2c x não é injetiva nem sobrejetiva.
O núcleo de p''(x) = 2c , denotado por x^2 cdot 2c - 2(a + b x + c x^2) = 0 , é o conjunto de todos os polinômios 2c x^2 - 2a - 2b x - 2c x^2 = 0 tais que -2a - 2b x = 0 .
Vamos resolver a equação -2a = 0 Rightarrow a = 0 :
-2b = 0 Rightarrow b = 0
Assumindo que ker(T) = c x^2 mid c in R , calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes devem ser zero:
O coeficiente é livre, ou seja, pode ser qualquer número real. Portanto, o núcleo de é:
Uma base para é simplesmente .
Como o núcleo de não contém apenas o vetor zero, isso significa que não é injetiva. Além disso, observando a matriz de que encontramos na parte a), vemos que ela não tem posto completo (faltam elementos na diagonal), indicando que também não é sobrejetiva.

Passo 4

Por último, vamos resolver a parte c): Resolver em p'(x) = b + 2c x a equação p''(x) = 2c .
Queremos encontrar um polinômio x^2 cdot 2c - 2(a + b x + c x^2) = 1 que satisfaz essa equação.
Primeiro, computamos as derivadas:
2c x^2 - 2a - 2b x - 2c x^2 = 1
-2a - 2b x = 1
Substituindo na equação:
-2a = 1 Rightarrow a = -12
-2b = 0 Rightarrow b = 0
Simplificando:
p(x) = -12
Agora, ajustamos os coeficientes para que a igualdade seja verdadeira para todo :
O coeficiente não aparece na equação simplificada, o que significa que ele é livre. Porém, como estamos procurando uma solução específica, podemos escolher para simplificar.
Portanto, uma solução para a equação é:

Resposta

a) A matriz que representa [T]B = -2 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & 0 em relação à base é:
b) Uma base para o núcleo de é . Isso mostra que não é injetiva nem sobrejetiva.
c) Uma solução para a equação em é .

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