Seja o operador linear dado por .
a) Encontre a matriz que representa em relação à base .
b) Determine uma base para o núcleo de e conclua que não é injetiva nem sobrejetiva.
c) Resolva em a equação .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um operador linear que atua em polinômios de grau até 2, ou seja, em . O operador é definido por . Precisamos resolver três partes:
a) Encontrar a matriz que representa em relação à base .
b) Determinar uma base para o núcleo de e concluir que não é injetiva nem sobrejetiva.
c) Resolver a equação no espaço .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de operadores lineares, matrizes de transformação, núcleo de um operador e resolver equações diferenciais em polinômios. Vamos passo a passo!
Passo 2
Vamos começar com a parte a): Encontrar a matriz que representa em relação à base .
Primeiro, precisamos entender como o operador age sobre cada um dos vetores da base . Ou seja, vamos aplicar em , e e expressar o resultado em termos da base .
Vamos lá:
Aplicando em 1:
Aplicando em :
Aplicando em :
Agora, expressamos cada resultado em termos da base :
Com esses coeficientes, podemos montar a matriz de em relação à base :
Passo 3
Agora vamos para a parte b): Determinar uma base para o núcleo de e concluir que não é injetiva nem sobrejetiva.
O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os polinômios tais que .
Vamos resolver a equação :
Assumindo que , calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes devem ser zero:
O coeficiente é livre, ou seja, pode ser qualquer número real. Portanto, o núcleo de é:
Uma base para é simplesmente .
Como o núcleo de não contém apenas o vetor zero, isso significa que não é injetiva. Além disso, observando a matriz de que encontramos na parte a), vemos que ela não tem posto completo (faltam elementos na diagonal), indicando que também não é sobrejetiva.
Passo 4
Por último, vamos resolver a parte c): Resolver em a equação .
Queremos encontrar um polinômio que satisfaz essa equação.
Primeiro, computamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Agora, ajustamos os coeficientes para que a igualdade seja verdadeira para todo :
O coeficiente não aparece na equação simplificada, o que significa que ele é livre. Porém, como estamos procurando uma solução específica, podemos escolher para simplificar.
Portanto, uma solução para a equação é:
Resposta
a) A matriz que representa em relação à base é:
b) Uma base para o núcleo de é . Isso mostra que não é injetiva nem sobrejetiva.