Um cilindro sólido, com 100 mm de diâmetro está a gerar calor a uma taxa uniforme de 7 times 106 W / m^3. A condutividade térmica do sólido é de 190 W / m.K e a temperatura da sua superfície é mantida a 100^circ C. Calcular:
(iv) Fluxo de calor à superfície.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cilindro sólido com diâmetro de 100 mm que está gerando calor de forma uniforme a uma taxa de 7 times 10^6 , W/m^3. A condutividade térmica desse material é 190 , W/(m cdot K) e a temperatura na superfície do cilindro é mantida em 100^circ C. O que precisamos descobrir é o fluxo de calor na superfície desse cilindro.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor em geometria cilíndrica, especificamente a lei de condução de calor de Fourier e a equação de condução estacionária com geração de calor interno.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o diâmetro do cilindro para o raio, já que em problemas de cilindro, usamos o raio para facilitar os cálculos. O diâmetro é 100 mm, então o raio $ r $ será metade disso:
r

Passo 3

Agora, precisamos lembrar da equação de condução de calor para um cilindro com geração interna de calor em estado estacionário. A equação diferencial que descreve a temperatura $ T® $ em função do raio $ r $ é:
T(r)
Onde:
  • $ \dot{q} $ é a taxa de geração de calor por unidade de volume ( r )
  • $ k $ é a condutividade térmica ( 1r ddr ( r dTdr ) + dotqk = 0 )

Passo 4

Vamos integrar essa equação para encontrar a distribuição de temperatura. Primeiro, multiplicamos a equação por $ r $:
r
Integrando em relação a $ r $:
ddr ( r dTdr ) + dotq rk = 0
Onde $ C_1 $ é a constante de integração.

Passo 5

Dividindo ambos os lados por $ r $:
r
Integrando novamente para encontrar $ T® $:
dTdr = -dotq2k r + C1r
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração.

Passo 6

Aplicamos as condições de contorno para determinar $ C_1 $ e $ C_2 C1 í r = 0,05 , m $), a temperatura é $ 100^\circ \mathrm{C} C2 éá r = 0 $), a constante $ C_1 $ deve ser zero.
Então:
r = 0,05 , m
E a equação da temperatura fica:
100^circ C

Passo 7

Usamos a condição de contorno na superfície para encontrar $ C_2 $:
C2
Calculando o primeiro termo:
100 = -7 times 10^64 times 190 (0,05)^2 + C2
Então:
-7 times 10^6760 times 0,0025 = -7 times 10^6 times 0,0025760 approx -23,03 , °C

Passo 8

Agora que temos $ C_2 $, a distribuição de temperatura é:
C2

Passo 9

Para encontrar o fluxo de calor na superfície, usamos a lei de Fourier para condução de calor radial:
qr = -k dTdr
Calculamos a derivada de $ T® $:
T(r)
Substituindo na equação do fluxo de calor:
dTdr = -7 times 10^62 times 190 r
Simplificando:
qr = -190 times ( -7 times 10^6380 r ) = 7 times 10^6 times 190380 r

Passo 10

Calculando os valores:
qr = 7 times 10^6 times 190 times 0,05380 = 7 times 10^6 times 9,5380 = 6,65 times 10^7380 approx 1,75 times 10^5 , W/m^2

Resposta

O fluxo de calor na superfície é aproximadamente 1,75 times 10^5 , W/m^2.

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