Um cilindro sólido, com 100 mm de diâmetro está a gerar calor a uma taxa uniforme de
. A condutividade térmica do sólido é de
.K e a temperatura da sua superfície é mantida a
. Calcular:
(iv) Fluxo de calor à superfície.
(iv) Fluxo de calor à superfície.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cilindro sólido com diâmetro de 100 mm que está gerando calor de forma uniforme a uma taxa de
. A condutividade térmica desse material é
e a temperatura na superfície do cilindro é mantida em
. O que precisamos descobrir é o fluxo de calor na superfície desse cilindro.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor em geometria cilíndrica, especificamente a lei de condução de calor de Fourier e a equação de condução estacionária com geração de calor interno.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o diâmetro do cilindro para o raio, já que em problemas de cilindro, usamos o raio para facilitar os cálculos. O diâmetro é 100 mm, então o raio $ r $ será metade disso:
Passo 3
Agora, precisamos lembrar da equação de condução de calor para um cilindro com geração interna de calor em estado estacionário. A equação diferencial que descreve a temperatura $ T® $ em função do raio $ r $ é:
Onde:
- $ \dot{q} $ é a taxa de geração de calor por unidade de volume (
) - $ k $ é a condutividade térmica (
)
Passo 4
Vamos integrar essa equação para encontrar a distribuição de temperatura. Primeiro, multiplicamos a equação por $ r $:
Integrando em relação a $ r $:
Onde $ C_1 $ é a constante de integração.
Passo 5
Dividindo ambos os lados por $ r $:
Integrando novamente para encontrar $ T® $:
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração.
Passo 6
Aplicamos as condições de contorno para determinar $ C_1 $ e $ C_2
r = 0,05 , m $), a temperatura é $ 100^\circ \mathrm{C}
r = 0 $), a constante $ C_1 $ deve ser zero.
Então:
E a equação da temperatura fica:
Passo 7
Usamos a condição de contorno na superfície para encontrar $ C_2 $:
Calculando o primeiro termo:
Então:
Passo 8
Agora que temos $ C_2 $, a distribuição de temperatura é:
Passo 9
Para encontrar o fluxo de calor na superfície, usamos a lei de Fourier para condução de calor radial:
Calculamos a derivada de $ T® $:
Substituindo na equação do fluxo de calor:
Simplificando:
Passo 10
Calculando os valores:
Resposta
O fluxo de calor na superfície é aproximadamente
.