Calcule a distância do ponto (1,2,4) ao plano pi: 2 x-3 y-z=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular a distância do ponto até o plano . Essa matéria envolve geometria analítica, especificamente a fórmula para encontrar a distância entre um ponto e um plano. Vamos precisar identificar os coeficientes do plano e aplicar a fórmula direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância d = |A x0 + B y0 + C z0 + D| raizA^2 + B^2 + C^2 de um ponto até um plano dado pela equação . A fórmula é:
Aqui, , , e são os coeficientes das variáveis , , e no plano, e é o termo constante.

Passo 3

Vamos identificar os coeficientes na equação do plano 2x - 3y - z - 4 = 0 . Primeiro, precisamos rearranjar a equação para a forma padrão :
Então, os coeficientes são:
E o ponto que temos é .

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da distância. Primeiro, calculamos o numerador:
|A x0 + B y0 + C z0 + D| = |2(1) + (-3)(2) + (-1)(4) + (-4)|
Calculando dentro do valor absoluto:
= |2 - 6 - 4 - 4| = |-12| = 12

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o denominador, que é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos coeficientes raizA^2 + B^2 + C^2 = raiz2^2 + (-3)^2 + (-1)^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14 , e :

Passo 6

Finalmente, vamos dividir o numerador pelo denominador para encontrar a distância d = 12raiz14 approx 123,7417 approx 3,21 :

Resposta

A distância do ponto até o plano é aproximadamente 3,21 unidades.

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