Obternha uma equação vetorial da reta concorrente com e , paralela à reta .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de geometria analítica envolvendo retas no espaço. A tarefa é encontrar a equação vetorial de uma reta que é concorrente com as retas e , ou seja, que passa pelo ponto de interseção delas, e que também é paralela à reta . Para resolver isso, vamos precisar entender como representam as retas no espaço usando equações vetoriais e como determinar paralelismo e pontos de interseção entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das retas , e .
A reta está dada na forma vetorial:
Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta.
A reta está dada na forma simétrica:
Podemos reescrever isso na forma vetorial:
Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta.
A reta também está na forma simétrica:
Reescrevendo na forma vetorial:
Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a interseção das retas e . Para isso, igualamos as equações vetoriais das duas retas e resolvemos para os parâmetros e .
Temos:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Verificando na primeira equação:
ãé
Isso indica que as retas e não se intersectam, ou seja, não são concorrentes. Portanto, não existe uma reta que seja concorrente com ambas e paralela a .

Resposta

Não existe uma reta que seja concorrente com e e paralela a .

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Calcule a distância do ponto ao plano .
Determine a equação cartesiana da reta que passa pelo ponto e é perpendicular à direção do vetor .
Seja o plano que contém o pontos e é paralelo aos vetores e .
c) Obternha a equação geral de .
Verifique se os pontos e são colineares ou não. Se não são colineares, existe um único plano que os contém. Use o produto misto para encontrar a equação geral desse plano.