Obternha uma equação vetorial da reta s concorrente com r1: X=(2,1,0)+ lambda(1,0,-1) e r2: x+2=y=z, paralela à reta r3: x=y-1=2-z3.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de geometria analítica envolvendo retas no espaço. A tarefa é encontrar a equação vetorial de uma reta que é concorrente com as retas e , ou seja, que passa pelo ponto de interseção delas, e que também é paralela à reta . Para resolver isso, vamos precisar entender como representam as retas no espaço usando equações vetoriais e como determinar paralelismo e pontos de interseção entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das retas X = (2, 1, 0) + lambda (1, 0, -1) , x+21 = y1 = z1 e X = (-2, 0, 0) + mu (1, 1, 1) .
A reta x1 = y-11 = 2-z3 está dada na forma vetorial:
X = (0, 1, 2) + nu (1, 1, -3)
Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta.
A reta está dada na forma simétrica:
Podemos reescrever isso na forma vetorial:
Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta.
A reta também está na forma simétrica:
Reescrevendo na forma vetorial:
Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a interseção das retas (2, 1, 0) + lambda (1, 0, -1) = (-2, 0, 0) + mu (1, 1, 1) e 2 + lambda = -2 + mu 1 + 0lambda = 0 + mu 0 - lambda = 0 + mu . Para isso, igualamos as equações vetoriais das duas retas e resolvemos para os parâmetros e .
Temos:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação:
1 = mu Rightarrow mu = 1
Da terceira equação:
-lambda = 1 Rightarrow lambda = -1
Verificando na primeira equação:
2 + (-1) = -2 + 1 1 = -1 (Não é verdade) ãé
Isso indica que as retas e não se intersectam, ou seja, não são concorrentes. Portanto, não existe uma reta que seja concorrente com ambas e paralela a .

Resposta

Não existe uma reta que seja concorrente com e e paralela a .

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