Obternha uma equação vetorial da reta concorrente com e , paralela à reta .
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de geometria analítica envolvendo retas no espaço. A tarefa é encontrar a equação vetorial de uma reta que é concorrente com as retas e , ou seja, que passa pelo ponto de interseção delas, e que também é paralela à reta . Para resolver isso, vamos precisar entender como representam as retas no espaço usando equações vetoriais e como determinar paralelismo e pontos de interseção entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das retas , e .
A reta está dada na forma vetorial:
Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta.
A reta está dada na forma simétrica:
Podemos reescrever isso na forma vetorial:
Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta.
A reta também está na forma simétrica:
Reescrevendo na forma vetorial:
Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a interseção das retas e . Para isso, igualamos as equações vetoriais das duas retas e resolvemos para os parâmetros e .
Temos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Verificando na primeira equação:
ãé
Isso indica que as retas e não se intersectam, ou seja, não são concorrentes. Portanto, não existe uma reta que seja concorrente com ambas e paralela a .
Resposta
Não existe uma reta que seja concorrente com e e paralela a .