Determine a equação cartesiana da reta que passa pelo ponto e é perpendicular à direção do vetor .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação cartesiana de uma reta que passa pelo ponto e é perpendicular à direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que se uma reta é perpendicular a um vetor, esse vetor é chamado de vetor normal à reta. O vetor normal é fundamental porque nos ajuda a escrever a equação da reta de forma simples usando a forma ponto-normal.

Passo 3

A forma ponto-normal da equação de uma reta é dada por:
Onde:
  • é o vetor normal à reta.
  • é o vetor posição genérico .
  • é o vetor posição do ponto dado, no caso .

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula. Temos:
Primeiro, fazemos a subtração dos vetores:
Agora, realizamos o produto escalar:
Isso fica:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
Juntando os termos semelhantes:
Podemos multiplicar todos os termos por para deixar a equação mais convencional:

Resposta

A equação cartesiana da reta é:

Exercícios relacionados

Dadas as retas e .
a) e são concorrentes? Se forem, determine o ponto de interseção.
b) O ponto pertence à alguma dessas duas retas? Justifique.
c) Escreva a expressão de um ponto arbitrário das retas e .
d) Determine uma equação vetorial para a reta que contém o ponto e é concorrente com e .
[Resposta: e são concorrente e é o ponto de interseção.
Resolva o sistema
Calcule a distância do ponto ao plano .
Obternha uma equação vetorial da reta concorrente com e , paralela à reta .