Determine a equação cartesiana da reta que passa pelo ponto e é perpendicular à direção do vetor .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação cartesiana de uma reta que passa pelo ponto e é perpendicular à direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que se uma reta é perpendicular a um vetor, esse vetor é chamado de vetor normal à reta. O vetor normal é fundamental porque nos ajuda a escrever a equação da reta de forma simples usando a forma ponto-normal.
Passo 3
A forma ponto-normal da equação de uma reta é dada por:
Onde:
é o vetor normal à reta.
é o vetor posição genérico .
é o vetor posição do ponto dado, no caso .
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula. Temos:
Primeiro, fazemos a subtração dos vetores:
Agora, realizamos o produto escalar:
Isso fica:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação:
Juntando os termos semelhantes:
Podemos multiplicar todos os termos por para deixar a equação mais convencional: