Determine a equação cartesiana da reta que passa pelo ponto (1,2) e é perpendicular à direção do vetor n=(-1,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação cartesiana de uma reta que passa pelo ponto (1,2) e é perpendicular à direção do vetor n=(-1,3). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que se uma reta é perpendicular a um vetor, esse vetor é chamado de vetor normal à reta. O vetor normal é fundamental porque nos ajuda a escrever a equação da reta de forma simples usando a forma ponto-normal.

Passo 3

A forma ponto-normal da equação de uma reta é dada por:
n cdot (r - r0) = 0
Onde:
  • n é o vetor normal à reta.
  • r é o vetor posição genérico (x, y).
  • r0 é o vetor posição do ponto dado, no caso (1,2).

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula. Temos:
(-1, 3) cdot ( (x, y) - (1, 2) ) = 0
Primeiro, fazemos a subtração dos vetores:
(x - 1, y - 2)
Agora, realizamos o produto escalar:
-1 cdot (x - 1) + 3 cdot (y - 2) = 0
Isso fica:
- (x - 1) + 3(y - 2) = 0

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
- x + 1 + 3y - 6 = 0
Juntando os termos semelhantes:
- x + 3y - 5 = 0
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para deixar a equação mais convencional:
x - 3y + 5 = 0

Resposta

A equação cartesiana da reta é:
x - 3y + 5 = 0

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